====== AP12 Pravděpodobnost a statistika ======
(klasická a podmíněná pravděpodobnost, distribuční funkce a rozdělení náhodných veličin, výpočet střední hodnoty, rozptylu a kovariance)

**Pravděpodobnost** náhodného jevu je číslo, které je mírou očekávatelnosti výskytu jevu. ((převzato z http://cs.wikipedia.org/wiki/Pravděpodobnost))
(Popisná) **statistika** je zpracování číselných dat o nějakém souboru objektů.
**Matematická statistika** je věda aplikovaná na problémy spojené se sběrem a pozorováním náhodných dat.

===== Terminologie =====
<math>\Omega</math> = množina všech možných výsledků, **základní prostor**. Prvky <math>\omega \in \Omega</math> představují jednotlivé možné výsledky.

**Jevové pole** je systém podmnožin <math>\Delta</math> základního prostoru uzavřený na //konečné průniky, spočetná sjednocení a množinové rozdíly//. Jednotlivé množiny <math>A \in \Delta</math> nazýváme **náhodné jevy** (vzhledem k <math>\Delta</math>).
  
<box 95% round blue|Základní pojmy>
  * **jistý jev** je celý základní prostor <math>\Omega</math>
  * **nemožný jev** je prázdná podmnožina <math>\emptyset \in \Delta</math> 
  * **elementární jevy** jsou jednoprvkové podmnožiny <math>\{\omega\}, \omega \in \Omega</math>
  * **společné nastoupení jevů** <math>A_{i}, i \in I</math> je jejich průnik, tedy odpovídá jevu <math>\bigcap_{i \in I}{}{} A_{i}</math>,  
  * **nastoupení alespoň jednoho z jevů** <math>A_{i}, i \in I</math> je jejich sjednocením, odpovídá jevu <math>\bigcup_{i \in I}{}{} A_{i}</math>
  * **neslučitelné jevy** <math>A,B \in \Delta</math> jsou jevy, pro které platí <math>A \cap B</math> = <math>\emptyset</math>
  * **jev A má za důsledek jev B**, když <math>A \subset B</math>
  * **opačný jev k jevu A** je jev <math>B = \Omega \backslash A</math>, píšeme <math>B = A^c</math> 
</box>

**Pravděpodobnostní funkce** je funkce <math>P : \Delta \rightarrow R</math> na jevovém poli <math>(\Omega,\Delta)</math> 

<box 95% round blue|Vlastnosti pravděpodobnostní funkce>  
  * je **nezáporná**, tj. <math>P(A) \geq 0</math> pro všechny jevy <math>A</math>,
  * je **aditivní**, tj. <math>P\left(\bigcup_{i \in I}{}{} A_{i}\right) = \sum_{i \in I} P(A_{i})</math>, pro každý nejvýše spočetný systém po dvou neslučitelných jevů (//laicky: "dá se sčítat, když jsou jevy neslučitelné"//),
  * pravděpodobnost jistého jevu je 1.
  * **pravděpodobnost opačného jevu** je <math>P(A^c) = 1 - P(A)</math>
</box>


=====Pravděpodobnosti=====
Rozlišujeme dvě definice pravděpodobností: **klasickou** a **geometrickou**. Pokud klademe podmínky, bavíme se o tzv. **podmíněné pravděpodobnosti**.
====Klasická pravděpodobnost====
Klasická pravděpodobnost je **pravděpodobnostní prostor **<math>(\Omega, \Delta, P)</math>** s pravděpodobnostní funkcí **<math>P : \Delta \rightarrow R,</math> \\ 
<math> P(A) = \frac{{|}A{|}}{{|}\Omega{|}}</math> .

<box 95% round blue|Jednoduchý príklad>

//Zadanie:// Hádžeme kockou. Aká je pravdepodobnosť, že hodíme číslo 6?
\\

//Riešenie://

<math>{|}A{|}</math> - úspešný výsledok (hodená 6)
<math>{|}\Omega{|}</math> - všetky možné výsledky (1 až 6)

<math> P(A) = \frac{{|}A{|}}{{|}\Omega{|}} = \frac{1}{6} = 0,166666667 = 17\%</math>.
</box>

====Geometrická pravděpodobnost====
Zde je definice pravděpodobnosti založena na **porovnání objemů**, ploch či délek geometrických útvarů.
<math> P(A) = \frac{vol\ A}{vol\ \Omega}</math> 

<box 95% round blue|Příklad - jen nastínění řešení>

//Zadání:// Romeo a Julie si smluvili schůzku mezi 12:00 a 13:00. Přijdou náhodně v tomto rozmezí a čekají na sebe 20 minut, nejdéle však do 13:00. Jaká je pravděpodobnost, že se setkají?

\\

//Nástin řešení:// musíme si vytvořit funkci, která nám v pravděpodobnostním prostoru odděluje jev příznivý od nepříznivého. Potom spočítáme obsah části, která znázorňuje jev příznivý a dělíme obsahem celého prostoru.

</box>
====Podmíněná pravděpodobnost====
Nechť H je jev s nenulovou pravděpodobností v jevovém poli <math>\Delta</math> v pravděpodobnostním prostoru <math>(\Omega, \Delta, P)</math>. Podmíněná pravděpodobnost <math>P(A|H)</math> jevu <math>A \in \Delta</math> vzhledem k hypotéze H je definována vztahem <math>P(A|H) = \frac{P(A \cap H)}{P(H)}</math> (napr. //„jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěmi kostkami padly dvě pětky, je-li součet hodnot deset?“//).


<box 95% round blue|Pravděpodobnost průniku a sjednocení jevů>
Definice odpovídá požadavku, že jevy A a H nastanou zároveň, za předpokladu, že A nastal s pravděpodobností <math>P(A \cap H)/P(A)</math>.

Je také vidět přímo z definice, hypotéza H a jev A jsou nezávislé tehdy a jen tehdy, je-li <math>P(A) = P(A|H)</math>.

Přepsáním formule pro podmíněnou pravděpodobnost dostáváme

<math>P(A \cap B) = P(B \cap A) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)</math> \\


<math>P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)</math> ... závislé
<math>\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  = P(A) + P(B)</math>          ... nezávislé

<math>P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) </math>       ... závislé    
<math>\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = P(A)  \cdot P(B)</math>        ... nezávislé
obecně: <math>P(A_{1}\cap A_{2} \cap ... \cap A_{n})= P(A_{1}) \cdot P(A_{2}|A_{1}) \cdot .. \cdot P(A_{n}|A_{1} \cap A_{2} \cap ... \cap A_{n})</math>

</box>

**Bayesův vzorec**
Pro pravděpodobnost jevů A a B platí
<math> P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A) }{P(B)}   </math>
<note>
Využíváme jej, když známe podmíněnou pravděpodobnost P(B|A) a chceme zjistit P(A|B).
</note>

<box 95% round blue|Jednoduchý příklad>

//Zadání:// Dva střelci vystřelí každý jednu ránu na terč. První má pravděpodobnost zásahu 80%, druhý 60%. V terči se našla jedna rána. Jaká je pravděpodobnost, že patří prvnímu střelci?

\\

//Řešení:// <math>P(H_{1})= 0,8</math>, <math>P(H_{2})= 0,6</math>
Jev A: rána patří prvnímu střelci
Pravděpodobnost toho, že se trefí první střelec = (pravděpodobnost, že se první trefí a druhý ne) / (pravděpodobnost, kdy je v terči 1 rána)

Pravděpodobnost, kdy je v terči 1 rána: <math>0.8\cdot 0.4 + 0.2\cdot 0,6 = 0,44</math> (//bud se prvni trefi a druhy ne a nebo naopak//)
<math> P(A) = \frac{0,8\cdot 0,4}{0,44}</math> ((příklad pochází z cvičení z předmětu MB104)).
</box>

=====Distribuční funkce a rozdělení náhodných veličin =====

**Nahodná veličina** –- zavádíme ji, protože chceme pracovat s intervaly -- vyjádřit, jaká je pravděpod., že daná hodnota bude právě z tohoto intervalu.
**Rozdělení pravděpodobnosti** je pravidlo, které přiřazuje pravděpodobnosti událostem nebo tvrzením.
Existuje několik způsobů, jak vyjádřit rozdělení pravděpodobnosti. Nejobvyklejší je uvést **hustotu rozdělení pravděpodobnosti**; samotná pravděpodobnost jevu se pak získá **integrací funkce hustoty**. 
**Diskrétní** rozdělení pravděpodobností (definováno na spočetné, diskrétní množině, jako je podmnožina celých čísel) - např. binomické, Poissonovo
**Spojité** rozdělení (existuje spojitá distribuční funkce, např. polynomická nebo exponenciální) - např. normální rozdělení, exponenciální rozdělení ((převzato z http://cs.wikipedia.org/wiki/Pravděpodobnost))

===== Distribuční funkce =====
distribuční funkcí náhodné veličiny X je funkce <math>F : 
R \rightarrow R</math> definovaná pro všechny <math>x \in R</math> vztahem
<math>F(x) = P(X \leq x)</math>

<box 95% round blue|Diskrétní náhodná veličina X>
X na pravděpodobnostním prostoru <math>(\Omega, A, P)</math> nabývá jen konečně mnoha hodnot <math>x_{1}, x_{2}, . . . , x_{n} \in R</math>. Pak existuje tzv. pravděpodobnostní funkce f(x) taková, že
<math>f(x) = P(X = x_{i})  x = x_{i}\  ;\ 0\ jinak.</math>
Evidentně <math>\sum_{i=1}^{n}\  f(x_{i}) = 1</math> a pro rozdělení pravděpodobnosti platí
<math>P(X^{-1} B) =\sum_{x_{i} \in B}\  f(x_{i})</math>
a tedy zejména je distribuční funkce tvaru 
<math>F_{X}(t) =\sum_{x_{i} \leq t}\ f(x_{i})</math>
Každá náhodná veličina definovaná pro klasickou pravděpodobnost je diskrétní.
</box>

<note> 
Diskrétní veličinu si můžeme představit jako graf složený z bodů, které odpovídají pravděpodobnosti daného jevu (pro házení kostkou je to 1/6)
{{:home:inf:diskretni_velicina.png|}}
** Sečtení hodnot bodů ** musí dát **1**.
** Distribuční funkce** <math>F_{X}</math> v bodě 3 se vlastně rovná součtu pravděpodobnostních hodnot do tohoto bodu, tedy <math>\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6}</math>
</note>

**Spojité náhodné veličině** odpovídá **spojitá distribuční funkce**.
<math>F(x) = P(A \leq X \leq B) = \int_{a}^{b} f(x) dx</math>, kde f(x) je funkce hustoty pravděpodobnosti.

<box 95% round blue|Funkce hustoty pravděpodobnosti>
Nechť X je náhodná veličina, F(x) je její distribuční funkce.
  - F je zleva spojitá, <math>lim_{x \rightarrow -\infty} = 0</math> a <math>lim_{x \rightarrow \infty} = 1</math>.
  - Vždy platí <math>P(a \leq X < b) = F(b) - F(a)</math>.
  - Je-li X diskrétní s hodnotami <math>x_{1}, . . . , x_{n}</math>, pak je F(x) po částech konstantní, <math>F(x) = \sum_{x_{i} \leq x}\ P(X = x_{i})</math> a <math>F(x) = 1</math> kdykoliv <math>x > x_{n}</math>.
  - Je-li X spojitá, pak je F(x) diferencovatelná a její derivace se rovná hustotě pravděpodobnosti X, tj. platí
 <math>F'(x) = f(x)</math>.
</box>

<note>
Spojitou veličinu si můžeme představit jako spojitý graf (když například zobrazujeme výšku lidí)
{{:home:inf:spojita_velicina.png|}}
** Plocha pod křivkou** musí mít obsah **1**.
** Distribuční funkce** <math>F_{X}</math> se proto vyjadřuje jako integrál.
</note>

===== Rozdělení náhodných veličin=====
====Diskrétní====
  * sem patří degenerované rozdělení, alternativní rozdělení, **binomické rozdělení**, **Poissonovo rozdělení**

===Degenerované rozdělení===
  * <math>Dg(\mu)</math> -- konstantní hodnota <math>X = \mu</math>
  * distribuční funkce: <math>F_{X}(t) = 0</math> pro <math>t \leq \mu</math>; 1 pro <math>t > \mu</math>
  * pravděpodobn. funkce: <math>f_{X}(t) = 1</math> pro <math>t = \mu</math>;        0 jinak

===Alternativní rozdělení===
  * A(p) -- popisuje pokus s pouze dvěma možnými výsledky (zdar nebo nezdar), pravděpodobnosti jsou p a (1-p):
  * <math>F_{X}(t) =   0</math> pro <math>t \leq 0</math>;     <math>1-p</math> pro <math>0 < t \leq 1</math>;         1 pro <math>t > 1</math> 
  * <math>f_{X}(t) =    p</math> pro <math>t = 1</math>;      <math>1-p</math> pre <math>t = 0</math>;              0 jinak    

===Binomické rozdělení===
  * <math>Bi(n, p)</math> -- odpovídá n–krát nezávisle opakovanému pokusu popsanému alternativním rozdělením, přičemž naše náhodná veličina měří počet zdarů.
  * <math>f_{X}(t) = {n \choose t}\ p^{t}\ (1 - p)^{n-t}</math>    pro <math>t \in {0, 1, . . . , n}</math>;      0 jinak
  * nejvíce výsledků bude blízko hodnoty np

<box 95% round blue|Příklad s nastíněným řešením>

//Zadání:// Pravděpodobnost narození chlapce je 0,515. Jaká je pravděpodobnost, že mezi deseti tisíci novorozenci bude stejně nebo více děvčat než chlapců?

\\

//Řešení:// <math>P(p) = 0,515</math>, <math>n = 10000</math>

Protože se vlastně nezávisle stále opakuje "pokus" s výsledkem "kluk" nebo "děvče", použijeme Binomické rozdělení **Bi(n,p)**, tedy Bi(10000; 0,515).

<math>Y_{10000} \sim Bi(10000; 0,515)</math>

<math>P(Y_{10000}=x) = {n \choose k}\ p^{t}\ (1 - p)^{n-t}</math> ...dosadíme 10000 za n

<math>P(Y_{10000}=5000)=</math> dosadíme do vzorce

<math>P(Y_{10000}\leq 5000)= \sum_{x=0}^{5000} \ldots</math>
</box>

===Poissonovo rozdělení===
  * <math>Po(\lambda)</math> -- dobře aproximuje binomická rozložení <math>Bi(n, \lambda/n)</math> pro konstantní <math>\lambda > 0</math> a veliká n:
  * <math>f_X(t) = \left(\frac{\lambda^{t}}{t!}\right) e^{-\lambda}</math>   pro <math> t \in N</math>; 0 jinak

====Spojité==== 
  * sem patří **rovnoměrné rozdělení**, **exponenciální rozdělení**, **normální rozdělení**

===Rovnoměrné rozdělení===
 
 * R(a, b) -– hustota <math>f_{X}(t)</math> je konstantní na daném intervalu, jinde je 0
  * <math>f_{X}(t) = 0</math> pro <math>t \leq a</math>;       <math> \frac{1}{b-a}</math> pro <math>t \in (a, b)</math>;  0 pro <math>t \geq b</math>
  * <math>F_{X}(t) = 0</math> pro <math>t \leq a</math>;       <math>\frac{t-a}{b-a}</math> pro <math>t \in (a, b)</math>;         1 pro <math>t \geq b</math>,

===Exponenciální rozdělení===
  * <math>ex(\lambda):  F_{X}(t) = 1 -  e^{-\lambda t}</math> pro <math>t > 0</math>;        0 pro <math>t \leq 0</math>.
  * <math>f_{X}(t)= \lambda e^{-\lambda t}</math> pro <math>t > 0</math>;        0 pro <math>t \leq 0</math>.

===Normální rozdělení===
  * hustota <math>f_{X}(x) = \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)\ e^{-\frac{x^2}{2}}\  =\ </math> Gaussova křivka -- rozdělení s touto hustotou se nazývá normální rozdělení N(0,1) (první parametr střední hodnota, druhý rozptyl)
  * binomické B(n,p) pro velké n konverguje k normálnímu N(np, np(1 − p))
  * <math>F_{X}(x)= \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{-x^{2}}{2}} dx</math>

===== Výpočet střední hodnoty, rozptylu a kovariance =====

====Výpočet střední hodnoty====
  * při rovnoměrném rozdělení je střední hodnotou aritmet. průměr
  * pro diskrétní veličinu: <math>EX = \sum_{i}\ x_{i} f_{X}(x_{i})</math> - hodnotu vždy vynásobím hodnout její hustoty v daném bodě
  * pro spojitou veličinu: <math>EX = \int_{-\infty}^{\infty} x f_{X}(x) dx</math>

====Výpočet rozptylu====
  * Rozptyl <math>DX=E((X-EX)^{2})</math> udává, jak jsou hodnoty "daleko" od střední hodnoty
  * udává se v jednotkách na druhou, zavedla se také **výběrová směrodatná odchylka**, která se rovná <math>\sqrt{DX}</math> a udává hodnotu v jednotkách 

<note>
Aby se dal rozptyl lépe spočítat, můžete využít alternativní vzorec: <math>DX = E(X^{2}) - (EX)^{2} </math>, kde <math>E(X^{2})</math> znamená, že do vzorce pro střední hodnotu <math>EX</math> všude místo <math>X</math> dáme <math>X^{2}</math>, <math>(EX)^{2}</math> je jen vypočítaná střední hodnota na druhou.
</note>  
 

====Výpočet kovariance a korelačního koeficientu====
===Kovariance===
  * kovariance měří **sílu lineární závislosti** (jen lineární, jiné závislosti ne)
  * <math>cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)</math>

===Korelační koeficient===
  * Korelační koeficient udává **míru lineární závislosti**, označuje se <math>\rho_{XY}</math> a je to bezrozměrné číslo z intervalu <math><-1,1></math>
  * Pro <math>\rho = 1</math> je mezi X,Y **přímá lineární závislost**. Pro <math>\rho = - 1</math> je mezi X,Y **nepřímá lineární závislost**. Pro <math>\rho = 0</math> jsou veličiny X,Y **lineárně nezávislé**, a říkáme o nich, že jsou **nekorelované**. Nulová hodnota koeficientu korelace tedy **neznamená obecnou nezávislost** obou veličin X a Y, ale **pouze nezávislost lineární**.((převzato z http://cs.wikipedia.org/wiki/Kovariance))
  * pro výpočet potřebuje kovarianci
  * <math>\rho_{XY} = \frac{cov(X, Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}</math>

<box 95% round blue|Příklad>
//Zadání:// Nechť náhodné veličiny U,V mají diskrétní rozdělení určené následující tabulkou:
^ U\V              ^ 1            ^ 2          ^ 3        ^
^ 1    | 0,1         | 0,2        | 0,3  |
^ 2    | 0,2         | 0,1        | 0,1  |

Najděte marginální rozdělení obou náhodných veličin, jejich střední hodnoty, rozptyly a korelační koeficient.
\\
//Řešení:// \\
Nejprve si jen pro kontrolu můžete spočítat součet všech hodnot v tabulce, pokud je roven 1, je zadání spravné.
Do tabulky si přidáme marginální hodnoty -- jsou to //laicky řečeno projekce řádků a sloupců//
^ U\V              ^ 1            ^ 2          ^ 3        ^ P(U) ^
^ 1    | 0,1         | 0,2        | 0,3  | 0,6 |
^ 2    | 0,2         | 0,1        | 0,1  | 0,4 |
^ P(V)    | 0,3         | 0,3       | 0,4  | 1 |
Spočítáme si střední hodnoty E(V) a E(U) a hodnotu E(UV):

<math>E(U) = 1 \cdot 0,6 + 2 \cdot 0,4 = 1,4</math>

<math>E(V) = 1 \cdot 0,3 + 2 \cdot 0,3 + 3 \cdot 0,4 = 2,1</math>

<math>E(UV) = 1 \cdot 1 \cdot 0,1 + 1 \cdot 2 \cdot 0,2 + 1 \cdot 3 \cdot 0,3 + 2 \cdot 1 \cdot 0,2 + 2 \cdot 2 \cdot 0,1 + 2 \cdot 3 \cdot 0,1 = 2,8</math>
\\
Spočítáme si rozptyl D(V) a D(U):

<math>D(U) = E(U^{2}) - (E(U))^{2} = (1^{2} \cdot 0,6 + 2^{2} \cdot 0,4) - (1,4)^{2} = 0,24 </math>

<math>D(V) = E(V^{2}) - (E(V))^{2} = (1^{2} \cdot 0,3 + 2^{2} \cdot 0,3 + 3^{2} \cdot 0,4) - (2,1)^{2} = 0,69 </math>
 \\
Spočítáme si kovarianci:

<math>cov (U,V) = E(UV)- E(U) \cdot E(V) = 2,8 - 1,4 \cdot 2,1 = -0,14</math>
\\
Spočítáme si korelační koeficient:
<math>\rho_{uv} = \frac{cov(U,V)}{\sqrt{D(U)D(V)}} = \frac{-0,14}{\sqrt{0,24\cdot 0,69}} = -0,344</math> (přibližně)
\\
//Důsledek:// mezi veličinami U,V je spíše nepřímá lineární závislost. ((příklad převzat z domácích úkolů předmětu MB104))
</box>

===== Zdroj =====
[[http://www.fi.muni.cz/~xhalic1/statnice/vypracovaneIM.doc]]
[[http://www.math.muni.cz/~xpupik/dokumenty/pst-prednasky.pdf]]
[[http://cs.wikipedia.org/wiki/Kovariance]]
[[http://cs.wikipedia.org/wiki/Rozdělení_pravděpodobnosti]]
[[http://cs.wikipedia.org/wiki/Pravděpodobnost]]

Informace trochu zorganizovala, opravila a doplnila Jitka Pospíšilová.

~~DISCUSSION~~