====== Zadanie ======
Numerické řešení nelineárních rovnic a systémů nelineárních rovnic. Přehled a principy iteračních metod, konvergence. Přímé metody řešení systémů lineárních rovnic, Gauss, Jacobi, Gauss-Seidel, relaxační metody. Aplikace metod při řešení zobrazovacích a modelovacích úloh.
====== Vypracovanie ======
Obecně hledáme řešení rovnice **f(x) = 0** na intervalu [a, b]
Řešení bývá značeno ξ (Xí).
Chyba bývá značena ε.

===== Metody řešení nelineárních rovnic =====
Jednotlivé metody lze použít **pouze pokud splňují podmínky**.

==== Metoda půlení intevalu (bisekce)====
Půlení intevalu dokud |a_n - b_n| < ε (velikost intervalu není menší než nějaká předem stanovená konstanta).

==== Metoda prosté iterace ====
Místo f(x) = 0 řešíme ekvivalentní úlohu x = g(x)
ξ je pevný bod g
<math>x^0</math> - počáteční aproximace
<math>x^{k+1} = g(x^x)</math> - krok výpočtu

==== Newtonova metoda ====
<math>x^{k+1} = x^k - {f(x^k)}/{f`(x^k)}</math> - krok výpočtu


==== Metoda sečen ====
<math>x^{k+1} = x^k - ({(x^k - x^{k-1})}/{(f(x^k) - f(x^{k-1}))})f(x^k)</math> - krok výpočtu

==== Newtonova metoda řešení systémů nelineárních rovnic ====
<math>x^{k+1} = x^{k} - J^{-1}(x^{k}) F(x^{k})</math>\\
<math>x^{k+1} = x^{k} + delta x^k</math>\\
<math>J(x^k)  delta  x^k = - F(x^k)</math>

===== Metody řešení systémů lineárních rovnic =====
Řešení Ax = b

==== Rozklad pro Jacobiho a Gauss-Seidlovu metodu ====
{{:mgr-szz:in-gra:numetody_rozklad_matice.png?600|}}

==== Jacobiho metoda ====
<math>Dx^{k+1} = (L + U)x^k + b</math>

==== Gauss-Seidlovu metoda ====
<math>(D - L)x^{k+1} = Ux^k + b</math>


====== Použité zdroje ======
Ivana Horová, Jiří Zelinka: Numerické metody. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta. 2004. ISBN 8021033177, 9788021033177. https://is.muni.cz/auth/el/1431/jaro2013/M4180/um/numerika.pdf