=====Zadání=====
Modelování v počítačové grafice. Druhy modelů, vytváření a modifikace, zobrazení. Lokální a globální úpravy modelů, deformační metody FFD. (PA010, PB009, PA157, PA158)

===== Druhy modelů =====

Těleso je množina bodů v 3D splňující určitá kritéria (např. sousednost).

===Trojúhelníková síť===
Trojúhelníková síť (triangle mesh) je množina trojúhelníků sdílející své hrany. 
  * jednoduchá, vždy konvexní, každý vrchol leží v rovině
  * pro vyplňování existují velmi rychlé algoritmy
  * zobrazování je podporováno grafickým procesorem
  * výpočty lze snadno optimalizovat (např. sledování paprsků)
  * Datová struktura: geometrická část (obsahuje souřadnice vrcholů) + topologická část (které vrcholy tvoří trojúhelník, které trojúhelníky spolu sousedí)
Není vhodná na modelování tvaru těles a ploch (namísto např. NURBS), ale užitečná při deformaci.
Optimalizace sítě – trojúhelníky pokrývají plochu pravidelně vs. jemněji v místech s větší křivostí. Při zpracování dat v grafickém procesoru je vhodnější popsat síť trojúhelníků pomocí lineární struktury, která zajistí, že každý trojúhelník je zpracován právě jednou: pruh trojúhelníků (triangle strip), vejíř trojúhelníků (triangle fan).
Nevýhody: nesnadné mapování textur, může vzniknout geometrický alias (např. při změně měřítka - crack, u T-vrcholů).

{{:mgr-szz:in-gra:surfacemodeling015.png|}}

===Voxelový model===

  * pole k x l x m voxelů („volume element“)
  * jednobitová varianta (0 – nic, 1 – těleso) vs. vícebitová varianta (0 – nic, n>0 – těleso č. n)

{{:mgr-szz:in-gra:vox.png|}}

===Hraniční reprezentace těles===

  * popis množiny hraničních bodů

{{:mgr-szz:in-gra:hr.png|}}

Manifold je těleso, které odpovídá nějakému skutečnému tělesu (tj. jehož hrany incidují právě s 2 plochami, jehož hrany neprotínají jiné plochy, osamocený vrchol nespojuje 2 části tělesa).

{{:mgr-szz:in-gra:topomodelnonmanifold.gif|}}

==Eulerova rovnost==

Hraniční reprezentace jednoduchého mnohostěnu splňuje rovnici (opačně nemusí platit, tj. objekt splňující rovnici nemusí být jednoduchým mnohostěnem):
F + V = E + 2
F (faces) – počet ploch
V (vertices) – počet vrcholů
E (edges) – počet hran
Musí platit, že každá hrana propojuje 2 vrcholy, stěny a hrany se neprotínají.
Pro manifoldy s otvory platí zobecněná Eulerova rovnost:
F + V = E + 2 (C – H) + R
R (ring) – počet vnitřních smyček hran
C (component) – počet samostatných komponent tělesa
H (hole) – počet otvorů
Platnost Eulerova rovnosti souvisí s vlastnostmi planárních grafů.

===Hranová reprezentace===

  * drátový, „wire-frame“ model
  * Implementace: seznam vrcholů + seznam hran (obsahuje ukazatele do seznamu vrcholů)
Nelze jednoznačně interpretovat (viz. obr.), ale vhodné k vytvoření náhledu, pro prozkoumání vnitřku tělesa.

{{:mgr-szz:in-gra:wirefr.gif|}}

===Plošková reprezentace===

Implementace: seznam vrcholů + seznam hran + seznam ploch (pořadí vrcholů v poli: counter clockwise)
Vhodná pro vykreslování zohledňující viditelnost.

==Strukturovaná plošková reprezentace==

  * Baumgart: Okřídlená hrana (winged edge)
  * vhodné pro manifoldy
  * je snadné odvodit mnoho topologických informací
  * Pro nonmanifoldy: půlhrana

{{:mgr-szz:in-gra:we.gif|}}

===Bodová reprezentace===

Je množina povrchových bodů (většinou získány digitálním snímáním reálných objektů). Data v jednom bodě: souřadnice, normála, barva, …
  * lze je uspořádat hierarchicky a zobrazovat jenom do určité úrovně
  * vysoké paměťové nároky

===Konstruktivní geometrie těles, CSG (Constructive Solid Geometry)===

Založena na reprezentaci tělesa stromovou strukturou (CSG strom), který uchovává historii dílčích konstrukčních kroků. Vnitřní uzly obsahují množinové operace, listy CSG primitivy nebo prostorové transformace. CSG primitivy: kvádr, koule, válec, kužel, jehlan, … poloprostor, plocha NURBS, …
Vhodné pro tvarování tělesa, nevhodné pro zobrazení (lze ale snadno přetransformovat např. do hraniční reprezentace).
Prořezaný CSG strom: odstraní se nevyužité větve stromu (pokud se v dané části prostoru nevyskytuje to dané těleso).
CSG tree pruning – zásadní zjednodušení CSG stromu.

{{:mgr-szz:in-gra:csg.png|}} {{:mgr-szz:in-gra:csg_res.png|}}

===== Modelování pomocí deformací =====

Deformace je dodatečné tvarování, může být lokální nebo globální.

===Barrovy deformace===

  * globální
  * neuniformní změna měřítek: X = F_x(x), Y = F_y(y), Z = F_z(z), kde [x,y,z] je nedeformovaný, [X,Y,Z] je deformovaný bod

Základní deformace:

==Změna měřítek (Scale)==

X = S_x(x) = S_x . x
Y = S_y(y) = S_y . y
Z = S_z(z) =  S_z . z

{{:mgr-szz:in-gra:scale.png|}}

==Zeslabování, zašpičatění (tapering)==

ve směru osy z:
X = r_x . x
Y = r_y . y
Z = z
r_x, r_y jsou lineární nebo nelineární zeslabovací funkce

{{:mgr-szz:in-gra:tapering.png|}}

==Zkroucení (twisting)==

kolem osy z:
X = x . cos(f(z)) – x . sin(f(z))
Y = y . sin(f(z)) – y . cos(f(z))
Z = z

{{:mgr-szz:in-gra:twist.png|}}

==Ohýbání (bending)==

  * složená transformace
  * ohýbací zóna - aplikuje se kruhová deformace
  * vnější zóny tělesa - dochází k posuvu a natočení

{{:mgr-szz:in-gra:bend.png|}}

===== Volné tvarování těles (FFD, Free-Form Deformation) =====

Lze aplikovat na hraniční i na CSG modely, plochy, části ploch v prostoru. Idea je následující: obejkt z elastického materiálu vložíme do formy ve tvaru hranolu a prázdný prostor zalijeme materiálem. Pak aplikujeme sadu transformací na hranol, s tím současně deformujeme i samotný objekt.
Postup:
Máme souřadnicový systém O, X, Y, Z, zavedeme pomocný souřadnicový systém X_0, bázi tvoří vektory S, T, U, které vymezují rovnoběžnostěn (nemusí být kolmý). Rovnoběžnostěn obsahuje objekt nebo jeho část. Bod X = [x, y, z] má v lokálném souřadnicovém systému X_0 souřadnice [s, t, u] a platí: X_0 + s . S + t . T + u . U
s = {T x U(X-X_0)}/{T x U . S}
t = {S x U(X-X_0)}/{S x U . T}
u = {S x T(X-X_0)}/{S x T . U}
V prostoru rovnoběžnostěnu vytvoříme pravidelnou mřížku řídících bodů P_ijk.
Prostor zdeformujeme přemístěním řídících bodů.
Pro určení změněné pozice bodu objektu se nejprve určí lokální souřadnice bodu, pak poloha bodu ve světových souřadnicích, výslednou polohu ovlivní jednotlivé řídící body s určitou váhou (např. lineární interpolací) – měla by zaručit požadovanou hladkost (spojitost) objektu, např. pomocí Bernsteinových polynomů.

  * deformovaný parametrický povrch zůstane parametrickým povrchem, deformované parametrické křivky zůstanou parametrickými křivky.
  * FFD je možné aplikovat postupně
  * hlavním aspektem je udržet předepsanou spojitost navazujících deformovaných a nedeformovaných oblastí
  * některé operace CAD systémů nelze použít, např. zaoblování ostrých hran, svařování, …
  * nevýhoda: rozhraní mezi deformovanou a nedeformovanou oblastí leží v rovině

{{:mgr-szz:in-gra:ffd.png|}}

====== Zdroj ======
Žára, Beneš, Sochor, Felkel. Moderní počítačová grafika. Computer Press, Brno, 2004. ISBN: 80-251-0454-0