Zadanie

Numerické řešení nelineárních rovnic a systémů nelineárních rovnic. Přehled a principy iteračních metod, konvergence. Přímé metody řešení systémů lineárních rovnic, Gauss, Jacobi, Gauss-Seidel, relaxační metody. Aplikace metod při řešení zobrazovacích a modelovacích úloh.

Vypracovanie

Obecně hledáme řešení rovnice f(x) = 0 na intervalu [a, b]
Řešení bývá značeno ξ (Xí).
Chyba bývá značena ε.

Metody řešení nelineárních rovnic

Jednotlivé metody lze použít pouze pokud splňují podmínky.

Metoda půlení intevalu (bisekce)

Půlení intevalu dokud |a_n - b_n| < ε (velikost intervalu není menší než nějaká předem stanovená konstanta).

Metoda prosté iterace

Místo f(x) = 0 řešíme ekvivalentní úlohu x = g(x)
ξ je pevný bod g
$x^0$ - počáteční aproximace
$x^{k+1} = g(x^x)$ - krok výpočtu

Newtonova metoda

$x^{k+1} = x^k - {f(x^k)}/{f`(x^k)}$ - krok výpočtu

Metoda sečen

$x^{k+1} = x^k - ({(x^k - x^{k-1})}/{(f(x^k) - f(x^{k-1}))})f(x^k)$ - krok výpočtu

Newtonova metoda řešení systémů nelineárních rovnic

$x^{k+1} = x^{k} - J^{-1}(x^{k}) F(x^{k})$
$x^{k+1} = x^{k} + delta x^k$
$J(x^k) delta x^k = - F(x^k)$

Metody řešení systémů lineárních rovnic

Řešení Ax = b

Rozklad pro Jacobiho a Gauss-Seidlovu metodu

Jacobiho metoda

$Dx^{k+1} = (L + U)x^k + b$

Gauss-Seidlovu metoda

$(D - L)x^{k+1} = Ux^k + b$

Použité zdroje

Ivana Horová, Jiří Zelinka: Numerické metody. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta. 2004. ISBN 8021033177, 9788021033177. https://is.muni.cz/auth/el/1431/jaro2013/M4180/um/numerika.pdf