hledat
Rozdíly
Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.
| Obě strany předchozí revize Předchozí verze Následující verze | Předchozí verze | ||
|
mgr-szz:in-pds:1-pds [2019/06/12 18:05] lachmanfrantisek doplnění algoritmů pro toky |
mgr-szz:in-pds:1-pds [2020/04/12 16:56] (aktuální) |
||
|---|---|---|---|
| Řádek 49: | Řádek 49: | ||
| Barvení grafu se zabývá přiřazováním barev nejčastěji vrcholům (příp. hranám či stěnám). | Barvení grafu se zabývá přiřazováním barev nejčastěji vrcholům (příp. hranám či stěnám). | ||
| - | Nechť G = (V, E) je graf, k přirozené číslo. Zobrazení b: V → {1, ..., k} nazveme obarvením grafu G pomocí k barev, pokud pro každou hranu {x, y} ∈ E platí b(x) ≠ b(y). Barevnost grafu (také **chromatické číslo**) G je minimální počet barev potřebný pro obarvení G. Značí se Χ(G) (= velké chí). | + | Nechť G = (V, E) je graf, k přirozené číslo. Zobrazení b: V → {1, ..., k} nazveme obarvením grafu G pomocí k barev, pokud pro každou hranu {x, y} ∈ E platí b(x) ≠ b(y). Barevnost grafu (také **chromatické číslo**) G je minimální počet barev potřebný pro obarvení G. Značí se <math>\chi(G)</math> (= velké chí). |
| === Rovinné grafy (= planární) === | === Rovinné grafy (= planární) === | ||
| Řádek 81: | Řádek 81: | ||
| <box 90% blue|BFS> | <box 90% blue|BFS> | ||
| - | |||
| - | * procházení grafu metodou **backtrackingu** | ||
| - | * vždy expanduje prvního následníka každého vrcholu, pokud jej ještě nenavštívil | ||
| - | * vrcholy k procházení ukládá do zásobníku (LIFO) | ||
| - | * pokud nenajde v aktuálním vrcholu nenavštívené následníky, vrací se zpět **backtrackingem** (vyjme další prvek ze zásobníku) | ||
| - | |||
| - | **Algoritmus** | ||
| * Q – fronta z vrcholů | * Q – fronta z vrcholů | ||
| Řádek 117: | Řádek 110: | ||
| <box 90% blue|Depth-First Search (DFS)> | <box 90% blue|Depth-First Search (DFS)> | ||
| + | |||
| + | * procházení grafu metodou **backtrackingu** | ||
| + | * vždy expanduje prvního následníka každého vrcholu, pokud jej ještě nenavštívil | ||
| + | * vrcholy k procházení ukládá do zásobníku (LIFO) | ||
| + | * pokud nenajde v aktuálním vrcholu nenavštívené následníky, vrací se zpět **backtrackingem** (vyjme další prvek ze zásobníku) | ||
| + | |||
| + | **Algoritmus** | ||
| + | |||
| * incializace vynuluje čas + všechny obarví na bílo a nastaví předchůdce na nil | * incializace vynuluje čas + všechny obarví na bílo a nastaví předchůdce na nil | ||
| * hlavní část algoritmu iteruje přes všechny vrcholy grafu a nad bílými spouští podproceduru Visit | * hlavní část algoritmu iteruje přes všechny vrcholy grafu a nad bílými spouští podproceduru Visit | ||
| Řádek 139: | Řádek 140: | ||
| </box> | </box> | ||
| - | ^ algoritmus ^ složitost ^ typ grafu ^ | + | ^ algoritmus (1-to-n)^ složitost ^ typ grafu ^ |
| | BFS | <math>\mathcal{O}(m+n)</math> | vzdálenost = počet hran | | | BFS | <math>\mathcal{O}(m+n)</math> | vzdálenost = počet hran | | ||
| - | | Dijkstrův algoritmus | <math>\mathcal{O}(m \times \log n)</math> | nezáporné délky hran | | + | | Dijkstrův algoritmus | <math>\mathcal{O}(m + n * \log n)</math> | nezáporné délky hran | |
| + | | Bellman-Ford | <math>\mathcal{O}(m * n)</math>| | | ||
| + | |||
| + | ^ algoritmus (n-to-n)^ složitost ^ typ grafu ^ | ||
| | Násobení matic | <math>\mathcal{O}(n^3 * \log n)</math> | | | | Násobení matic | <math>\mathcal{O}(n^3 * \log n)</math> | | | ||
| | Floyd-Warshall | <math>\mathcal{O}(n^3)</math> | | | | Floyd-Warshall | <math>\mathcal{O}(n^3)</math> | | | ||
| | Johnson | <math>\mathcal{O}(n^2 * \log n + m * n)</math> | | | | Johnson | <math>\mathcal{O}(n^2 * \log n + m * n)</math> | | | ||
| + | == Hledání nejkratších cest z jednoho vrcholu do všech == | ||
| <box 90% blue|Dijkstrův algoritmus> | <box 90% blue|Dijkstrův algoritmus> | ||
| Řádek 155: | Řádek 160: | ||
| * inicializace O(n), naplnění Q O(n), zpracování všech vrcholů O(n), relaxace všech hran O(m) + aktualizace hodnot v Q O(log n) pro každou hranu | * inicializace O(n), naplnění Q O(n), zpracování všech vrcholů O(n), relaxace všech hran O(m) + aktualizace hodnot v Q O(log n) pro každou hranu | ||
| * uvažujeme binární haldu, kde vložení je v průměru v O(1), odstranění minima O(log n) a aktualizace O(log n) | * uvažujeme binární haldu, kde vložení je v průměru v O(1), odstranění minima O(log n) a aktualizace O(log n) | ||
| - | * = O(m * log n) | + | * = O(m * log n) |
| + | * s využitím fibonacciho haldy: O(m + n * log n) | ||
| **Korektnost** | **Korektnost** | ||
| Řádek 175: | Řádek 181: | ||
| * BF vrátí true, protože platí trojúhelníková nerovnost; (jinak) pokud obsahuje dosažitelný negativní cyklus, vrátí false | * BF vrátí true, protože platí trojúhelníková nerovnost; (jinak) pokud obsahuje dosažitelný negativní cyklus, vrátí false | ||
| </box> | </box> | ||
| + | |||
| + | == Hledání nejkratších cest mezi všemi vrcholy == | ||
| <box 90% blue|Násobení matic> | <box 90% blue|Násobení matic> | ||
| Řádek 223: | Řádek 231: | ||
| ^ algoritmus ^ složitost ^ | ^ algoritmus ^ složitost ^ | ||
| - | | Borůvka | <math>\mathcal{O}(m \times \log n)</math> | | + | | Borůvka | <math>\mathcal{O}(m * \log n)</math> | |
| - | | Kruskal | <math>\mathcal{O}(m \times \log n)</math> | | + | | Kruskal | <math>\mathcal{O}(m * \log n)</math> | |
| - | | Jarník |<math>\mathcal{O}(m \times |DECREASE-KEY| + n \times |EXTRACT-MIN|)</math>| | + | | Jarník |<math>\mathcal{O}(m * |DECREASE-KEY| + n * |EXTRACT-MIN|)</math>| |
| - | | Fredman-Tarjan (Jarník + Fibonacciho halda) |<math>\mathcal{O}(m + n \times \log n)</math>| | + | | Fredman-Tarjan (Jarník + Fibonacciho halda) |<math>\mathcal{O}(m + n * \log n)</math>| |
| - | | Fredman-Tarjan (limit velikosti haldy) | <math>\mathcal{O}(m \times \beta (m, n))</math> | | + | | Fredman-Tarjan (limit velikosti haldy) | <math>\mathcal{O}(m * \beta (m, n))</math> | |
| - | | Gabow et al. (F-T + packeting) | <math>\mathcal{O}(m \times \log \beta (m, n))</math> | | + | | Gabow et al. (F-T + packeting) | <math>\mathcal{O}(m * \log \beta (m, n))</math> | |
| <box 90% blue|Kruskal> | <box 90% blue|Kruskal> | ||
| Řádek 280: | Řádek 288: | ||
| * => nejvýš <math>\log n</math> fází | * => nejvýš <math>\log n</math> fází | ||
| * každá fáze zabere <math>\mathcal{O}(m)</math> (musíme projít přes všechny hrany) | * každá fáze zabere <math>\mathcal{O}(m)</math> (musíme projít přes všechny hrany) | ||
| - | * celkem: <math>\mathcal{O}(m \times \log n)</math> | + | * celkem: <math>\mathcal{O}(m * \log n)</math> |
| </box> | </box> | ||
| Řádek 324: | Řádek 332: | ||
| ^ algoritmus ^ složitost ^ | ^ algoritmus ^ složitost ^ | ||
| - | | Ford-Fulkerson |<math>\mathcal{O}(nm \times C)</math> C -- nejvyšší kapacita| | + | | Ford-Fulkerson |<math>\mathcal{O}(nm * C)</math> C -- nejvyšší kapacita| |
| | Edmonds-Karp (FF + shortest aug. path) | <math>\mathcal{O}(m^2n)</math>| | | Edmonds-Karp (FF + shortest aug. path) | <math>\mathcal{O}(m^2n)</math>| | ||
| |Dinitz (saturate all s-t paths in <math>G_f</math>)|<math>\mathcal{O}(mn^2)</math>| | |Dinitz (saturate all s-t paths in <math>G_f</math>)|<math>\mathcal{O}(mn^2)</math>| | ||
