Grafy a grafové algoritmy. Formalizace základních grafových pojmů, reprezentace grafů. Souvislost grafu, barevnost, rovinné grafy. Algoritmy (včetně složitosti a základní myšlenky důkazů korektnosti): prohledávání grafu do šířky a do hloubky, nejkratší vzdálenosti, kostry, toky v sítích.

Upozornění: bez nároku na úplnost a korektnost. Podle hesla „lepší něco než nic“. Ale snaha byla o co nejlepší výsledek.

• graf – uspořádaná dvojice množin vrcholů a hran
• vrchol – jeden z prvků množiny určující graf; mohou z něj vést hrany
• hrana – dvouprvková podmnožina množiny vrcholů. (Orientovaný graf: .) Když , tak je incidentní s .
• řídký graf – je mnohem menší než (→ preferuje proto seznamy následníků)
• hustý graf – je blízko (→ preferuje proto matici sousednosti)
• smyčka – hrana
• cesta v grafu – posloupnost , kde , navíc pro
• tah – cesta, v níž se mohou opakovat vrcholy
• sled – cesta, v níž se mohou opakovat vrcholy i hrany
• cyklus/kružnice – uzavřená cesta (netriviální)
• sousední vrchol – spojený hranou

+ váhovaný graf, multigraf

• máme pole o |V| prvcích – pro každý vrchol u ∈ V jeden a je jím seznam prvků v $ (u, v) ∈ E
• paměťová náročnost: Θ(V + E)

• matice velikosti |V| × |V|
• prvek matice a_ij = 1, pokud (i, j) ∈ E, jinak a_ij = 0

• souvislý graf – (neorientovaný) graf, v němž platí, že pro každé dva vrcholy x, y existuje sled z x do y.
• slabá souvislost – graf je slabě souvislý, pokud jeho symetrizace (= odstranění orientovanosti) je souvislý graf.
• silná souvislost – graf je silně souvislý, pokud pro každé dva vrcholy x, y existuje cesta z x do y i z y do x.

Silně souvislá komponenta je takový maximální podgraf orientovaného grafu, v němž pro každou dvojici vrcholů u, v existuje sled.

• Dvojitý DFS – první mi určí pořadí (na G^R) pro volání druhého (na G) (sestupné finishing časy), který mi vytiskne jednotlivé komponenty.

• vrcholový řez (= separátor) – taková množina U ⊆ V, že graf G = (V\U, E) není souvislý
• hranový řez
• vrcholová (hranová) souvislost – velikost minimálního vrcholového (hranového) řezu
• graf je vrcholově/hranově k-souvislý, pokud jeho vrcholová/hranová je ≥ k

Barvení grafu se zabývá přiřazováním barev nejčastěji vrcholům (příp. hranám či stěnám).

Nechť G = (V, E) je graf, k přirozené číslo. Zobrazení b: V → {1, …, k} nazveme obarvením grafu G pomocí k barev, pokud pro každou hranu {x, y} ∈ E platí b(x) ≠ b(y). Barevnost grafu (také chromatické číslo) G je minimální počet barev potřebný pro obarvení G. Značí se Χ(G) (= velké chí).

• pro rovinný graf existuje takové rovinné nakreslení, kdy se žádné dvě hrany nekříží
• duální graf – (multi)graf, jehož vrcholy tvoří stěny jiného rovinného grafu
• stěna – souvislý kus roviny určený rovinným nakreslením grafu

Věta (Eulerova formule): V rovinném grafu G=(V, E) platí:
1. |V| − |E| + s = |E|+2. (s = počet stěn)
2. |E| ≤ 3|V|−6.

Věta (o 4 barvách): Vrcholy rovinného grafu lze obarvit 4 barvami tak, aby žádná hrana nespojovala dva vrcholy stejné barvy.

• aplikace: návrh jednovrstvých tištěných spojů (= PCB) (VLSI designs)

Včetně složitosti a základní myšlenky důkazů korektnosti!

• Q – fronta z vrcholů
• d[u] – vzdálenost u od s
• π[u] – předchůdce u
• color[u] ∈ {white, gray, black} – pomocné

• inicializace pro všechny mimo počáteční vrchol s: obarvení na bílo, nekonečná vzdálenost, předchůdce nil
• inicilalizace s: šedý, vzdálenost 0, předchůdce nil, zařadí se do Q
• dokud se Q nevyprázdní, vezmu z Q u, projdu všechny jeho bílé sousedy, ošedím je, nastavím vzdálenost (d[u] + 1) a předchůdce (u), zařadím do Q a u přebarvím na černo

• incializace: O(n)
• žádný vrchol se pak již nepřebarví na bílo, takže jde do i z Q nejvýše jednou → operace s frontou tedy stojí O(n)
• seznam sousedů vrcholu se prochází, jen když je vrchol odstraňován z fronty, takže dohromady O(m)
• = O(m + n)

G = (V, E)

• BFS objeví každý z s dosažitelný vrchol, nedosažitelné nebudou objeveny.
• Po zastavení d[v] = δ(s, v) ∀v ∈ V.
• Pro každé v ∈ V dosažitelné z s je lib. nejkratší s-π[v]-cesta následovaná hranou (π[v], v) jednou z nejkratších s-v-cest.

Právě vrcholy zařazené do Q mají d[v] < ∞. Pokud v nedosažitelné z s, tak d[v] >= δ(s, v) = ∞, proto v nebude objeven.

V_k = {v ∈ V | δ(s, v) = k}, k ∈ N_0, → indukcí vzhledem ke k.

IK: Pokud v jde do Q, d[v], π[v] se již nikdy nemění. Jsou-li vrcholy zařazovány do Q v pořadí v_1, …, v_r, pak d[v_1] ≤ … ≤ d[v_r]. Nechť v ∈ V_k (k ≥ 1), tj. je objeven až po objevení všech z V_k-1. Poněvadž δ(s, v) = k, ex. cesta s, …, u (∈ V_k-1), v délky k. Nechť u je první takový objevený. V jistém okamžiku se u objeví na čele Q, v je objeven při prohlídce sousedů u. Tedy pro v ∈ V_k je π[v] ∈ V_k-1, a proto d[v] = d[π[v]] + 1. Nejkratší cestu do v tak získáme tím, že půjdeme po nejkratší cestě do π[v], a pak po hraně (π[v], v).

• incializace vynuluje čas + všechny obarví na bílo a nastaví předchůdce na nil
• hlavní část algoritmu iteruje přes všechny vrcholy grafu a nad bílými spouští podproceduru Visit
• ta: inkrementuje čas, nastaví discovery time, ošedí vrchol; projde všechny sousedy a bílým nastaví předchůdce a spustí nad nimi opět Visit; nakonec uzel očerní, inkrementuje čas a nastaví finishing time

• inicializace O(n), vynulování času O(1), iterace nad vrcholy O(n)
• Visit: nastavení parametrů – pro každý vrchol O(1); procházení sousedů O(m); nastavení parametrů – pro každý vrchol O(1)
• = O(m + n)

• věta o závorkách (discovery a finishing časy dvou uzlů jsou buď zcela disjunktní nebo tak či onak zanořené, pokud v DF-tree jde o následníka)
• věta o bílé cestě (pokud v je v DF-forest následníkem u, tak v čase d[u] vede od u k v cesta po čistě bílých vrcholech)

DF-forest = predecessor subgraph, kde hrany = { (π[v], v) | v ∈ V ∧ π[v] ≠ nil } → forest, protože DFS může být opakováno z více vrcholů

• relaxace = if d[v] > d[u] + w(u, v) → d[v] = d[u] + w(u, v); π[v] = u (w = váha hrany)

• udržuje množinu vrcholů, do kterých už byla vzdálenost spočítána; vyžaduje minimovou prioritní frontu – z dosud nezpracovaných vrcholů
• zpracovává postupně vrcholy mající nejnižší cenu (vzdálenost od s) a každou hranu z daného vrcholu relaxuje
• nefunguje pro záporně ohodnocené hrany

= Složitost =

• inicializace O(n), naplnění Q O(n), zpracování všech vrcholů O(n), relaxace všech hran O(m) + aktualizace hodnot v Q O(log n) pro každou hranu
• uvažujeme binární haldu, kde vložení je v průměru v O(1), odstranění minima O(log n) a aktualizace O(log n)
• = O(m * log n)

= Korektnost =
Ukážeme, že d[v] = δ(s, v) v okamžiku přidání v do S; (a že) rovnost je pak zachována. [dokazuje se na u jako prvním vrcholu, pro který to neplatí, na cestě je pak nějaké y z V\S (stejně jako u), kde přes d[y] = δ(s, y) ≤ δ(s, u) ≤ d[u], ale pak dostaneme rovnost, protože y není v S v okamžiku, kdy se tam dostává u (tj. spor s volbou u)]

• (|V| - 1)-krát iteruje přes všechny hrany a každou relaxuje
• iteruje přes všechny hrany a kontroluje, jestli graf neobsahuje dosažitelný negativní cyklus (ano → vrátí false)

= Složitost =

• inicializace O(n), relaxace hran O(m * n), kontrola na negativní cyklus O(m), ukončení O(1)
• = O(m * n)

= Korektnost =

• ukáže se, že po skončení d[v] = δ(s, v) pro všechny v z V [dokazuje se indukcí po nejkratší s-v-cestě (vrcholy se na ní neopakují (→ nejvýše |V|-1 hran)) – d[v_i] se po i-té iteraci relaxaci už nemění (zrelaxuje se tedy celá cesta)]
• (G_π je strom nejkratších cest) [nevím jak]
• BF vrátí true, protože platí trojúhelníková nerovnost; (jinak) pokud obsahuje dosažitelný negativní cyklus, vrátí false

• BFS

• místo sčítání počítá minimum, místo násobení sčítá, čímž dostaneme algoritmus pro výpočet nejkratších cest
  • celé se to opakuje, dokud nedostaneme násobek alespoň n-1
• složitost: O(n^3 * log n)

• využívá dynamického programování; (bez záporných cyklů – detekce na diagonále); princip: nejkratší cesta z a do b obsahuje nejkratší cesty mezi vrcholy, z nichž se skládá
• 3 zanořené cykly {1..n} a vevnitř: d_ij^(k) ← min(d_ij^(k-1), d_ik^(k-1) + d_kj^(k-1))
• k = 0 jsou samotné váhy hran
• společně s délkou nejkratších cest se stejným způsobem počítá i matice předchůdců
• složitost: O(n^3)

• vytvoří graf G', který má navíc nový vrchol s a hrany (s, v) s váhou 0 do všech vrcholů v – z tohoto vrcholu se pak spustí BF pro detekci záporného cyklu; pokud takový cyklus v grafu není, každá hrana (u, v) se převáhuje: w(u, v) + δ(s, u) − δ(s, v); z každého vrcholu se pak spustí Dijkstra. Výsledek se pak převáhuje zpět a uloží do matice
• složitost: O(n^2 * log n + m * n) → pro řídké grafy efektivnější než FW

• umístí každý vrchol do samostatné množiny a utřídí hrany podle váhy do neklesající posloupnosti
• prochází jednu hranu po druhé, pokud její vrcholy patří do různých množin, přidá hranu do kostry a množiny sloučí

= Složitost =

• použijeme strukturu Union-Find
• inicializace O(n) a utřídění hran O(m * log m)
• pro každou hranu provádíme dvě Find operace, které stojí O(log n), a eventuálně Union, který je rovněž v O(log n)
• = O(m * log n) [protože m < n^2, tedy log m = O(log n)]

= Korektnost =

• kostra: K je podgraf souvislého grafu G, K nemá cyklu, protože je v jednom podstromu, ne ve dvou; je souvislý, jinak by algoritmus přidal první hranu, která spojuje dvě komponenty K
• minimální: indukcí „množina hran F vybraná algoritmem je podmnožinou nějaké minimální kostry T“. Alg. vybere další hranu e, která není v T, tak T+e tvoří cyklus, který obsahuje hranu f, která není v F. Obě ale mají stejnou váhu, takže T-f+e je strom o stejné váze jako T, takže je to minimální kostra obsahující F+e a vlastnost opět platí

• při inicializaci nastaví klíče vrcholů na nekonečno a rodiče na nil; r.key = 0 pro počáteční vrchol; naplní Q
• vybírá z Q vrcholy s minimálním cenou, prochází jejich sousedy a do těch, do kterých se umí dostat z daného vrcholu levněji, nastaví nového rodiče a cenu

= Složitost =

• použijeme binární haldu
• incializace O(n), pro všechny vrcholy odstranění z Q O(n * log n), procházení všech hran a snižování ceny O(m * log n)
• = O(m * log n)
• s fibonacciho haldou by šlo zlepšit na O(m + n * log n) díky amortizované O(1) složitosti snižování ceny

= Korektnost =
T je nějaká minimální kostra G a K je výstup Jarníkova algoritmu. K = T triviální. Pokud K != T, pak nechť e je první, která je v K, ale ne v T. V je množina vrcholů přidaných do K před e – pak jeden konec e je ve V, druhý ne. V T ale musí existovat cesta spojující oba konce – na této cestě se musí nacházet hrana f spojující vrchol ve V s vrcholem, který ve V ještě není. V okamžiku, kdy je e přidána ke K, mohla by být přidána i hrana f, pokud by vážila méně. Z jejího nepřidání plyne, že d[e] ⇐ d[f].

V T je možné vyměnit hranu f za e – výsledný strom zůstane souvislý, obsahuje stejný počet hran a váha jeho hran se nezvýší. Tedy je rovněž minimální kostrou G. Opakováním tohoto postupu dojdeme k tomu, že K je rovno minimální kostře G.

• Reálný tok – podmínky: kapacitní ohraničení (tok na hraně ≤ kapacita hrany), podmínka kontinuity (co přitéká = co odtéká); |f| = z s vytéká − vrací

• reziduální kapacita – kolik dalšího toku se dá ještě hranou vést
• nemusí skončit, pokud jsou Reálné kapacity; síť s racionálními kapacitami lze převést na síť s celočíselnými
• alg: inicializuje toky na hranách na 0; dokud existuje zlepšující cesta, tak na ní zvýší tok o minimální společnou reziduální kapacitu (tj. o maximum)
• + Edmonds-Karp (BFS po nenasycených hranách)/nejširší cesty (maximální reziduální kapacita)/zjemňování stupnice (upřednostňuje cesty s nejvyšším potenciálem pro zlepšení; filtr 2^i, postupně se snižuje)

= Složitost =

• inicializace O(m), každá iterace cyklu O(m)
• Edmonds-Karp O(m * n)
• zjemňování stupnice O(m^2 * log_2 C); C=SUMA[přes v z V] c(s, v)

= Korektnost =

• ukáže se, že kapacitní ohraničení a podmínka kontinuity zůstanou splněny
• že na konci obdržím skutečně maximální tok – v reziduální síti už neexistuje cesta z s do t

• pracuje s pseudotokem (nesplňuje podm. kontinuity = aktivní vrchol) a výškami vrcholů – tok se přesouvá od vyšších k nižším
• pokud je možné protlačit nějaký tok od aktivního vrcholu k nižším, tak Push, jinak Relabel tohoto vrcholu
• inicializace: výšky, aktivity, toky

= Složitost =

• nanejvýš 2n^2 počet relabel, 2nm saturujících push (přetlačování v reziduální síti), 4mn^2 nesaturujících push; push i relabel lze realizovat v konstatní složitosti
• = O(n^2 * m)

= Korektnost =
V průběhu celého výpočtu platí:
- výška vrcholu nikdy neklesá;
- f je pseudotok a pokud kapacity jsou celočíselné, tak i f je;
- pseudotok a výška jsou kompatibilní (tj. h(t) = 0, h(s) = n, pro hrany (v, w) platí h(v) ⇐ h(w) + 1).
Pokud alg. vrátí pseudotok, tak je to maximální tok.
→

• Push respektuje kapacitní ohraničení hrany a do reziduálního grafu přidá hranu, která nemusí splňovat výškový rozdíl
• Relabel zvyšuje výšku vrcholu v právě když v reziduální síti nevede z v do žádného vrcholu s menší výškou

• MA010 Graph Theory
• MA015 Graph Algorithms

• 5-tei