Rozdíly

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

--- mgr-szz:in-pos:2-pos [2019/05/22 12:11]
lachmanfrantisek
+++ mgr-szz:in-pos:2-pos [2020/04/12 16:56] (aktuální)
@@ Řádek 12: / Řádek 12: @@
 ===== Vypracování =====
+==== Analýza složitosti, amortizovaná složitost  ====
+<box 90% red|Časová složitost>
+Časová složitost je funkce velikosti vstupu.
+Vyjadřuje závislost času potřebného pro provedení výpočtu na rozsahu (velikosti) vstupních dat.
+Rozlišujeme časovou složitost v nejlepším, nejhorším a průměrném případě.
+</box>
+=== Asymptotická notace ===
+  * abstrakce od detailů při udávání složitosti
+<box 90% blue|Θ notace>
+Pro danou funkci <math>g(n)</math> označuje symbol <math>\Theta(g(n))</math> množinu funkcí:
+ <math>\Theta(g(n)) = \lbrace f(n) \mid \exists c_1, c_2, n_0 : \forall n \geq n_0: 0\leq c_1g(n) \leq f(n) \leq c_2g(n)</math>
+---
+<math>f(n) \in \Theta(g(n))</math>: //f roste asymptoticky stejně rychle jako g//
+</box>
+<box 90% blue|O notace>
+Pro danou funkci <math>g(n)</math> označuje symbol <math>\mathcal{O}(g(n))</math> množinu funkcí:
+ <math>\mathcal{O}(g(n)) = \lbrace f(n) \mid \exists c, n_0 : \forall n \geq n_0: 0 \leq f(n) \leq cg(n)</math>
+---
+<math>f(n) \in \mathcal{O}(g(n))</math>: //f roste asymptoticky rychleji než g//
+</box>
+<box 90% blue|Ω notace>
+Pro danou funkci <math>g(n)</math> označuje symbol <math>\Omega(g(n))</math> množinu funkcí:
+ <math>\Omega(g(n)) = \lbrace f(n) \mid \exists c, n_0 : \forall n \geq n_0: 0 \leq cg(n) \leq f(n)</math>
+---
+<math>f(n) \in \Omega(g(n))</math>: //f roste asymptoticky pomaleji než g//
+</box>
+=== Složitost problému ===
+  * **Dolní odhad složitosti problému**: důkazové techniky
+  * **Horní odhad složitosti problému**: složitost konkrétního algoritmu pro daný problém
+  * **Složitost problému**: určeno dolním a horním odhadem, problém těsných odhadů
+=== Techniky ===
+== Informační metoda ==
+  * Řešení obsahuje určité množství informace.
+  * V každém kroku jsme schopni určit pouze část této informace.
+<box 90% blue|Permutace>
+Generování všech permutací n-prvkové posloupnosti
+  * počet různých permutací: <math>n!</math>
+  * => dolní odhad: <math>\Omega(n!)</math>
+  * => složitost problému: <math>\Theta(n!)</math>
+</box>
+<box 90% blue|Polynom>
+Evaluace <math>a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0</math> v bodě <math>x</math>.
+  * Spracování všech koeficientů <math>\Omega(n)</math>
+  * => dolní odhad: <math>\Omega(n)</math>
+  * => složitost problému: <math>\Theta(n)</math>
+</box>
+== Metoda redukce ==
+  * známe dolní odhad pro **Q**
+  * **Q** redukujeme na **P** (**Q** řešíme za pomoci **P**)
+  * dolní odhad pro **Q** je i dolním odhadem pro **P**
+== Metoda sporu ==
+  * Snažíme se dokázat dolní odhad složitosti.
+  * Dvě varianty:
+    * Předpokládáme, že má algoritmus asymptoticky menší složitost a konstruujeme vstup, pro který nevypočte korektní řešení.
+    * Předpokládáme, že algoritmus najde vždy korektní řešení a konstruujeme vstup, pro který složitost přesáhne uvažovanou mez.
+=== Amortizovaná složitost ===
+Technika pro přesnější určení složitosti.
+  * Analyzujeme posloupnost operací jako celek, ne složitost každé operace.
+== Používané metody ==
+  * **Seskupení:** Operace seskupíme do skupin a analyzujeme složitost celé skupiny operací současně.
+<box 90% blue|Zásobník>
+  * Skupina 1: operace PUSH: součet složitostí nepřesáhne n
+  * Skupina 2: operace POP a  MULTIPOP
+    * Součet složitostí (= počet prvků vybraných ze zásobníku) nepřesáhne počet operací PUSH (= počet vložených prvků)
+    * Složitost celé skupiny je n
+  * Celá posloupnost n operací má v nejhorším případě složitost 2n.
+</box>
+  * **Metoda účtů:**
+    * Každé operaci přiřadíme kredit (číslo), které může být různé od skutečné složitosti.
+    * Při realizaci zaplatíme skutečnou cenu kredity
+      * nedoplatek placen z účtu
+      * přebytek vrácen na účet
+    * Počáteční stav kreditů je 0.
+    * Pokud je stav kreditů po celou dobu výpočtu nezáporný. Součet kreditů je <math>\geq</math> složitosti vykonaných operací.
+    * Pro přehlednost lze kredity lze přiřazovat/odebírat objektům, na kterých se operace realizují.
+<box 90% blue|Zásobník>
+^ operace ^ složitost ^ kredity ^
+| PUSH | 1 | 2 |
+| POP | 1 | 0 |
+| MULTIPOP | <math>\min(k, \mid S \mid)</math> | 0 |
+  * Nezápornost kreditů dokážeme pomocí invariantu: "Počet kreditů na účtu je rovný počtu prvků na zásobníku."
+  * Invariant platí na začátku.
+  * PUSH zaplatí jeden kredit, 1 kredit dáme na účet
+  * POP a MULTIPOP zaplatí kredity z účtu
+  * Celá posloupnost n operací je <math>\leq</math> součet kreditů vykonaných operací.
+  * Součet kreditů vykonaných operací je <math>\leq 2n</math>
+</box>
+  * **Potenciálová funkce**
+    * Zvolíme potenciálovou funkci, která přiřadí každého hodnotě datové struktury číslo.
+    * Po celou dobu výpočtu nesmí hodnota klesnout pod počáteční mez.
+    * Definujeme amortizované ceny operací pomocí skutečné ceny a změně potenciálu.
+    *  Součet amortizovaných cen je <math>\geq</math> součtu skutečných cen. (Tedy je i horním odhadem složitosti posloupnosti operací.)
+<box 90% blue|Zásobník>
+^ operace ^ složitost ^ amortizovaná cena ^
+| PUSH | 1 | <math>1 + (|S|+1) - |S| = 2 </math> |
+| POP | 1 | <math>1 + |S| - (|S|+1) = 0 </math> |
+| MULTIPOP | <math>\min(k, \mid S \mid)</math> | <math>
+\begin{cases}
+k + (\mid S \mid - k) - \mid S \mid = 0 \text{ pro } \mid S \mid \textgreater k \\
+\mid S \mid + 0 - \mid S \mid = 0 \text{ pro } \mid S \mid \leq k
+\end{cases}
+</math> |
+  * Celá posloupnost n operací je <math>\leq</math> součet amortizovaných cen.
+  * Součet amortizovaných cen je <math>\leq 2n</math>
+</box>
+==== Techniky návrhu algoritmů ====
+=== Rozděl a panuj ===
+  - Problém rozděl na podproblémy (stejného typu).
+  - Vyřeš podproblémy.
+  - Z řešení podproblému sestav řešení problému.
+  * Příklady:
+    * Merge sort
+    * Quick sort
+    * Násobení celých čísel
+    * Násobení matic
+    * Fast Fourier Transformation
+=== Dynamické programování ===
+  * Charakteristická struktura problému:
+    * Problém lze rozdělit na podproblémy.
+    * Vhodné pro optimalizační problémy s překryvem podproblémů.
+    * Počet různých podproblémů je polynomiální.
+    * Optimální řešení problému v sobě obsahuje optimální řešení podproblému.
+    * Existuje přirozené uspořádání podproblémů od nejmenšího po největší.
+  - Rekurzivní definice hodnoty optimálního řešení.
+  - Výpočet hodnoty optimálního řešení **zdola-nahoru**.
+  - Z vypočítaných hodnost sestav optimální řešení.
+  * **Memoizace** = Pamatování si hodnot podproblémů.
+  * ➕ jednoduché na pochopení
+  * ➖ nutné určit pořadí řešení podproblémů ručně
+  * **Bottom-up**
+  * ➕ nemá overhead způsobený rekurzí
+  * ➖jednodušší analýza složitosti
+  * Příklady:
+    * Floydův alg.
+    * Warshallův alg.
+=== Hladové strategie  ====
+  * Vhodné pro optimalizační problémy, kde optimální řešení obsahuje optimální řešení podproblémů.
+  * Stačí získat optimální řešení jediného podproblému. (Výběr na základě **lokální optimality**.)
+  * Postup **shora-dolů**
+  * Příklady:
+    * Dijkstrův algoritmus pro problém nejkratších cest z daného vrcholu
+    * Kruskal a Prim pro nejlehčí kostry
+    * Huffmanovy kódy
+    * Problém mincí (placení co nejmenším počtem mincí)
+    * Problém pásky
+      * n souborů různých délek ukládáme postupně na pásku
+      * minimalizace přístupového času
+==== Pokročilé datové struktury ====
+=== Haldy ===
+  * **Halda** = Datová struktura pro reprezentaci prvků, nad kterými je definované úplné uspořádání.
+  * Podporované operace:
+    * MAKE_HEAP() vytvoří prázdnou haldu
+    * INSERT(H, x) do haldy H
+    * MINIMUM(H) najde minimální prvek v H
+    * EXTRACT_MIN(H) z haldy H odstraní minimální prvek
+    * DELETE(H, x) z hlady H odstraní prvek x
+    * UNION(H1, H2) vytvoří novou haldu sjednocením H1 a H2
+    * DECREASE_KEY(H, x, y) nahradí klíč x klíčem y (y < x)
+^ Operace ^ Seznam ^ Binární halda ^ Binomiální halda ^ Fibonacciho halda ^
+| MAKE_HEAP | <math>\Theta(1)</math> | <math>\Theta(1)</math>  | <math>\Theta(1)</math> | <math>\Theta(1)</math> |
+| MINIMUM | <math>\Theta(n)</math> | <math>\Theta(1)</math> | <math>\Theta(\log n)</math> | <math>\Theta(1)</math> |
+| INSERT | <math>\Theta(1)</math> | <math>\Theta(\log n)</math> | <math>\Theta(1)</math> * | <math>\Theta(1)</math> |
+| UNION | <math>\Theta(1)</math> | <math>\Theta(n)</math> | <math>\Theta(\log n)</math> | <math>\Theta(1)</math> |
+| EXTRACT_MIN | <math>\Theta(n)</math> | <math>\Theta(\log n)</math> | <math>\Theta(\log n)</math> | <math>\Theta(\log n)</math> * |
+| DELETE | <math>\Theta(1)</math> | <math>\Theta(\log n)</math> | <math>\Theta(\log n)</math> | <math>\Theta(\log n)</math> * |
+| DECREASE_KEY | <math>\Theta(1)</math> | <math>\Theta(\log n)</math> | <math>\Theta(\log n)</math> | <math>\Theta(1)</math> * |
+* amortizovaná složitost
+<box 100% blue|Binomiální halda>
+  * Na rozdíl od **binární haldy** tvořena lesem binomiálních stromů.
+  * Umožňuje snadné spojování stromů.
+{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Binomial_Trees.svg/750px-Binomial_Trees.svg.png}}
+</box>
+<box 100% blue|Fibonacciho halda>
+  * zobecnění binární haldy
+  * struktura může obsahovat víc stromů; ukládáme ukazatel na minimální prvek
+  * odkládáme operace až na dobu, kdy je to nutné
+  * dvě hlavní mota (viz video [[https://www.youtube.com/watch?v=CEvUqy1uF1E|Amortized analysis of Fibonacci heap]]):
+    * //Někdy se vyplatí nechat nepořádek narůst. (A uklidit hromadně.)//
+      * = Nové uzly přidáváme jako jednouzlové stromy. Stromy se stejným stupněm spojujeme hromadně až při ''extract-min''.
+    * //Tvoji rodiče chtějí hodně vnoučat a pokud nemáš moc dětí, tak tě zavrhnou.//
+      * = Uzel, který již dvakrát ztratil při ''decrease-key'' potomka je přesunut jako nový strom.
+  * Efektivně realizujeme UNION, INSERT a DECREASE_KEY, ale nezhoršujeme amortizovanou složitost ostatních operací.
+<box 90% blue|EXTRACT_MIN>
+{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/Fibonacci_heap.png/375px-Fibonacci_heap.png}}
+  * Odebrání prvku (1) a rozpad potomků.
+{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Fibonacci_heap_extractmin1.png/255px-Fibonacci_heap_extractmin1.png}}
+  * Spojení a finální stav po EXTRACT_MIN
+{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Fibonacci_heap_extractmin2.png/195px-Fibonacci_heap_extractmin2.png}}
+</box>
+<box 90% blue|DECREASE_KEY>
+{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/Fibonacci_heap.png/375px-Fibonacci_heap.png}}
+  * Snížení hodnoty z (9) na (0)
+{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/09/Fibonacci_heap-decreasekey.png/375px-Fibonacci_heap-decreasekey.png}}
+</box>
+</box>
+=== Union-find struktury  ===
+  * Reprezentace disjunktních množin.
+  * Operace:
+    * MAKE_SET(x) vytvoří množinu obsahující prvek x
+    * UNION(H1, H2) vytvoří novou množinu sjednocením H1 a H2
+    * FIND_SET(x) najde reprezentanta množiny obsahující x
+  * Aplikace:
+    * Kruskalův agoritmus
+    * komponenty souvislosti
+    * ekvivalence konečných automatů
+^ algoritmus ^ MAKE_SET ^ UNION ^ FIND_SET ^
+| reverzní stromy | <math>\mathcal{O}(1)</math> | <math>\mathcal{O}(1)</math> | <math>\mathcal{O}(n)</math> |
+| reverzní stromy (optimalizace) | <math>\mathcal{O}(1)</math> | <math>\mathcal{O}(\log n)</math> | <math>\mathcal{O}(\log n)</math> |
+| plytké stromy | <math>\mathcal{O}(1)</math> | <math>\mathcal{O}(\log n)</math> | <math>\mathcal{O}(1)</math> |
+Stromy s kompresí: Posloupnost m operací UNION, FIND_SET a MAKE_SET, z toho n operací MAKE_SET má složitost <math>O(m . \alpha(n))</math>
+<box 100% blue|Reverzní stromy (Reversed trees)>
+  * Každá množina reprezentována stromem.
+  * Jeden vrchol stromu odpovídá jednomu prvku množiny.
+  * Každý vrchol obsahuje odkaz na rodiče.
+  * Kořen ukazuje na sebe a je reprezentantem množiny.
+  * Implementace pomocí pole/seznamu.
+  * MAKE_SET, UNION: konstantní složitost
+  * FIND_SET: až lineární k počtu prvků prohledávané množiny
+  * Optimalizace:
+    * Při spojení dvou množin se kořen menší množiny stane synem kořene větší množiny.
+    * Ke každému vrcholu asociujeme hloubku stromu jehož je kořenem.
+    * MAKE_SET konstantní složitost
+    * UNION, FIND_SET <math>\mathcal{O}(\log n)</math>
+</box>
+<box 100% blue|Plytké stromy (Shallow threaded trees)>
+  * Množinu reprezentujeme jako spojovaný seznam, první prvek je reprezentantem.
+  * Každý prvek má ukazatele na následníka a na reprezentanta.
+  * Reprezentant obsahuje údaj o kardinalitě množiny.
+  * MAKE_SET, FIND_SET konstantní složitost
+  * WEIGHTED_UNION <math>\mathcal{O}(\log n)</math> amortizovaná složitost
+</box>
+<box 100% blue|Stromy s kompresí (Trees with path compresion)>
+  * FIND_SET: Při postupu zpět napojíme vrcholy na cestě přímo na kořen.
+  * Posloupnost m operací UNION, FIND_SET a MAKE_SET, z toho n operací MAKE_SET má složitost <math>O(m . \alpha(n))</math>
+</box>
+==== Algoritmy pro práci s řetězci ====
+<note tip>Některé algoritmy (naivní, Karp-Rabin, automaty) jsou podrobněji rozepsány zde: http://statnice.dqd.cz/home:inf:in17</note>
+Algoritmy pro:
+  * Vyhledávání vzorku v textu.
+  * Vzdálenosti řetězců a transformace řetězců
+  * Společná podposloupnost
+  * Aproximace řetězců
+  * Opakující se podřetězce
+^ Algoritmus ^ Předspracování ^ Vyhledávání ^
+| Úplné prohledávání | <math>O</math> | <math>\mathcal{O}((n-m+1)m)</math> |
+| Karp-Rabin * | <math>\Theta(m)</math> | <math>\mathcal{O}((n-m+1)m)</math> |
+| Konečné automaty | <math>\mathcal{O}(m |\Sigma|)</math> | <math>\Theta(n)</math> |
+| Knuth-Morriss-Pratt | <math>\Theta(m)</math> | <math>\Theta(n)</math> |
+| Boyer-Moore * | <math>\Theta(m + |\Sigma|)</math> | <math>\mathcal{O}((n-m+1)m)</math> |
+* Očekávaná složitost je výrazně lepší.
+<box 100% blue|Karp-Rabin>
+  * Řetězce chápeme jako čísla v desítkové soustavě.
+  * Vzorek i jednotlivé podřetězce hašujeme (pomocí Hornerova schématu) a porovnáváme tyto haše.
+  * Při posunutí o jednu pozici jsme schopni přepočíst haš v konstantním čas.
+  - Příprava: <math>\Theta(m)</math>
+    - Vypočteme haš hledaného řetězce.
+    - Vypočteme haš prvního podřetězce.
+  - Výpočet: <math>O((n-m+1)m)</math>
+    - Porovnáme haš vzorku a haš aktuálního podřetězce. (Pokud je roven, porovnáme řetězce a případně uložíme nalezenou pozici.)
+    - Posuneme se o jednu pozici v prohledávaném textu  a přepočteme haš (v konstantním čase).
+    - Porovnáváme a posouváme se dokud jsme nedosáhli <math>(m-1)</math>-té pozice od konce. Poté vrátíme všechny nalezené pozice.
+  * Očekávaná složitost pro //c// nálezů: <math>\mathcal{O}((n-m+1) + cm)</math>
+    * ➕ vhodné pro delší vzorky s malým počtem očekávaných nálezů
+</box>
+<box 100% blue|Užití konečných automatů>
+  * Pro daný vzorek zkonstruujeme konečný automat.
+    * Využití sufixové funkce <math>\sigma</math> určující délku nejdelšího prefixu vzorku, který je sufixem slova.
+    * <math>\delta(q, a) = \sigma(P[1] ... P[q] a)</math>
+    * Tato metoda v <math>\mathcal{O}(m^3 \times \mid\Sigma\mid)</math>.
+      * Existuje procedura s <math>\mathcal{O}(m \times \mid\Sigma\mid)</math>.
+  * Text zpracujeme konečným automatem. <math>\Theta(n)</math>
+</box>
+<box 100% blue|KMP>
+  * Nekonstruujeme celý automat ale před vyhledáváním vypočteme **prefixovou funkci** pro vzorek.
+    * Postupně pro každou pozici ve vzorku určíme délku největšího podvzorku, který je zároveň prefixem i sufixem dosud zpracované části vzorku.
+    * <math>\mathcal{O}(m)</math>
+  * Samotný výpočet pak probíhá obdobně jako naivní prohledávání, ale při neshodě (nebo nalezení vzorku) se:
+    * na textu nevracíme
+    * na vzorce posuneme na pole dle prefixové funkce
+  * <math>\mathcal{O}(n)</math>
+</box>
+<box 100% blue|Boyer-Moore>
+  * Postupujeme zleva doprava a porovnáváme vzorek a text zprava.
+  * Při neshodě můžeme využít dvě pravidla pro přeskočení pozic (vybereme větší skok):
+    * **Heuristika špatného znaku**
+      * nejbližší další pozice znaku z textu ve vzorku
+      * symbol se nevyskytuje ve vzorku => posun o i pozic
+    * **Heuristika dobrého suffixu**
+      * najdeme nejpravější výskyt u = T[j+i+1...m-1], před kterým je symbol různý od a
+        * => posun o i-r pozic (r = index znaku různého od a)
+      * nenajdeme nejdelší řetězec v, který je současně prefixem i sufixem P
+        * => posun vzorku o m-|v| pozic
+  * Tabulky pro heuristiky si lze ze vzorku předpočítat před samotným výpočtem. <math>\mathcal{O}(m \times |\Sigma|)</math>
+  * Vyhledávání <math>\mathcal{O}(m \times n)</math>, ale očekávaně výrazně lepší.
+    * nejlepší případ: <math>\mathcal{O}(\frac{n}{m})</math>
+</box>
+===== Zdroje: =====
+  * slidy IV003 (verze 2016)

mgr-szz/in-pos/2-pos.1558519884.txt.gz · Poslední úprava: 2020/04/12 16:56 (upraveno mimo DokuWiki)

Nahoru