Rozdíly

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

--- mgr-szz:in-pos:2-pos [2019/06/07 10:45]
lachmanfrantisek analýza složitosti, amortizovaná složitost
+++ mgr-szz:in-pos:2-pos [2020/04/12 16:56] (aktuální)
@@ Řádek 14: / Řádek 14: @@
 ==== Analýza složitosti, amortizovaná složitost  ====
+<box 90% red|Časová složitost>
+Časová složitost je funkce velikosti vstupu.
+Vyjadřuje závislost času potřebného pro provedení výpočtu na rozsahu (velikosti) vstupních dat.
+Rozlišujeme časovou složitost v nejlepším, nejhorším a průměrném případě.
+</box>
+=== Asymptotická notace ===
+  * abstrakce od detailů při udávání složitosti
+<box 90% blue|Θ notace>
+Pro danou funkci <math>g(n)</math> označuje symbol <math>\Theta(g(n))</math> množinu funkcí:
+ <math>\Theta(g(n)) = \lbrace f(n) \mid \exists c_1, c_2, n_0 : \forall n \geq n_0: 0\leq c_1g(n) \leq f(n) \leq c_2g(n)</math>
+---
+<math>f(n) \in \Theta(g(n))</math>: //f roste asymptoticky stejně rychle jako g//
+</box>
+<box 90% blue|O notace>
+Pro danou funkci <math>g(n)</math> označuje symbol <math>\mathcal{O}(g(n))</math> množinu funkcí:
+ <math>\mathcal{O}(g(n)) = \lbrace f(n) \mid \exists c, n_0 : \forall n \geq n_0: 0 \leq f(n) \leq cg(n)</math>
+---
+<math>f(n) \in \mathcal{O}(g(n))</math>: //f roste asymptoticky rychleji než g//
+</box>
+<box 90% blue|Ω notace>
+Pro danou funkci <math>g(n)</math> označuje symbol <math>\Omega(g(n))</math> množinu funkcí:
+ <math>\Omega(g(n)) = \lbrace f(n) \mid \exists c, n_0 : \forall n \geq n_0: 0 \leq cg(n) \leq f(n)</math>
+---
+<math>f(n) \in \Omega(g(n))</math>: //f roste asymptoticky pomaleji než g//
+</box>
 === Složitost problému ===
@@ Řádek 20: / Řádek 68: @@
   * **Horní odhad složitosti problému**: složitost konkrétního algoritmu pro daný problém
   * **Složitost problému**: určeno dolním a horním odhadem, problém těsných odhadů
-FIXME: asymptotická složitost
@@ Řádek 37: / Řádek 82: @@
 Generování všech permutací n-prvkové posloupnosti
-  * počet různých permutací: <m>n!</m>
+  * počet různých permutací: <math>n!</math>
-  * => dolní odhad: <m>\Omega(n!)</m>
+  * => dolní odhad: <math>\Omega(n!)</math>
-  * => složitost problému: <m>\Theta(n!)</m>
+  * => složitost problému: <math>\Theta(n!)</math>
 </box>
@@ Řádek 45: / Řádek 90: @@
 <box 90% blue|Polynom>
-Evaluace <m>a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0</m> v bodě <m>x</m>.
+Evaluace <math>a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0</math> v bodě <math>x</math>.
-  * Spracování všech koeficientů <m>\Omega(n)</m>
+  * Spracování všech koeficientů <math>\Omega(n)</math>
-  * => dolní odhad: <m>\Omega(n)</m>
+  * => dolní odhad: <math>\Omega(n)</math>
-  * => složitost problému: <m>\Theta(n)</m>
+  * => složitost problému: <math>\Theta(n)</math>
 </box>
@@ Řádek 96: / Řádek 141: @@
       * přebytek vrácen na účet
     * Počáteční stav kreditů je 0.
-    * Pokud je stav kreditů po celou dobu výpočtu nezáporný. Součet kreditů je <m>>=</m> složitosti vykonaných operací.
+    * Pokud je stav kreditů po celou dobu výpočtu nezáporný. Součet kreditů je <math>\geq</math> složitosti vykonaných operací.
     * Pro přehlednost lze kredity lze přiřazovat/odebírat objektům, na kterých se operace realizují.
@@ Řádek 105: / Řádek 150: @@
 | PUSH | 1 | 2 |
 | POP | 1 | 0 |
-| MULTIPOP | <m>\min{(k, |S|)}</m> | 0 |
+| MULTIPOP | <math>\min(k, \mid S \mid)</math> | 0 |
   * Nezápornost kreditů dokážeme pomocí invariantu: "Počet kreditů na účtu je rovný počtu prvků na zásobníku."
@@ Řádek 112: / Řádek 157: @@
   * POP a MULTIPOP zaplatí kredity z účtu
-  * Celá posloupnost n operací je <m><=</m> součet kreditů vykonaných operací.
+  * Celá posloupnost n operací je <math>\leq</math> součet kreditů vykonaných operací.
-  * Součet kreditů vykonaných operací je <m><=2n</m>
+  * Součet kreditů vykonaných operací je <math>\leq 2n</math>
 </box>
@@ Řádek 121: / Řádek 166: @@
     * Po celou dobu výpočtu nesmí hodnota klesnout pod počáteční mez.
     * Definujeme amortizované ceny operací pomocí skutečné ceny a změně potenciálu.
-    *  Součet amortizovaných cen je <m>>=</m> součtu skutečných cen. (Tedy je i horním odhadem složitosti posloupnosti operací.)
+    *  Součet amortizovaných cen je <math>\geq</math> součtu skutečných cen. (Tedy je i horním odhadem složitosti posloupnosti operací.)
@@ Řádek 127: / Řádek 172: @@
 ^ operace ^ složitost ^ amortizovaná cena ^
-| PUSH | 1 | <m>1 + (|S|+1) - |S| = 2 </m> |
+| PUSH | 1 | <math>1 + (|S|+1) - |S| = 2 </math> |
-| POP | 1 | <m>1 + |S| - (|S|+1) = 0 </m> |
+| POP | 1 | <math>1 + |S| - (|S|+1) = 0 </math> |
-| MULTIPOP | <m>\min{(k, |S|)}</m> | <m>delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{k + (|S|-k) - |S| = 0 pro |S| > k} {|S|+0-|S| = 0 pro |S|<=k}}}{ }</m> |
+| MULTIPOP | <math>\min(k, \mid S \mid)</math> | <math>
+\begin{cases}
+k + (\mid S \mid - k) - \mid S \mid = 0 \text{ pro } \mid S \mid \textgreater k \\
+\mid S \mid + 0 - \mid S \mid = 0 \text{ pro } \mid S \mid \leq k
+\end{cases}
+</math> |
-  * Celá posloupnost n operací je <m><=</m> součet amortizovaných cen.
+  * Celá posloupnost n operací je <math>\leq</math> součet amortizovaných cen.
-  * Součet amortizovaných cen je <m><=2n</m>
+  * Součet amortizovaných cen je <math>\leq 2n</math>
 </box>
@@ Řádek 139: / Řádek 189: @@
 === Rozděl a panuj ===
+  - Problém rozděl na podproblémy (stejného typu).
+  - Vyřeš podproblémy.
+  - Z řešení podproblému sestav řešení problému.
+  * Příklady:
+    * Merge sort
+    * Quick sort
+    * Násobení celých čísel
+    * Násobení matic
+    * Fast Fourier Transformation
 === Dynamické programování ===
+  * Charakteristická struktura problému:
+    * Problém lze rozdělit na podproblémy.
+    * Vhodné pro optimalizační problémy s překryvem podproblémů.
+    * Počet různých podproblémů je polynomiální.
+    * Optimální řešení problému v sobě obsahuje optimální řešení podproblému.
+    * Existuje přirozené uspořádání podproblémů od nejmenšího po největší.
+  - Rekurzivní definice hodnoty optimálního řešení.
+  - Výpočet hodnoty optimálního řešení **zdola-nahoru**.
+  - Z vypočítaných hodnost sestav optimální řešení.
+  * **Memoizace** = Pamatování si hodnot podproblémů.
+  * ➕ jednoduché na pochopení
+  * ➖ nutné určit pořadí řešení podproblémů ručně
+  * **Bottom-up**
+  * ➕ nemá overhead způsobený rekurzí
+  * ➖jednodušší analýza složitosti
+  * Příklady:
+    * Floydův alg.
+    * Warshallův alg.
 === Hladové strategie  ====
+  * Vhodné pro optimalizační problémy, kde optimální řešení obsahuje optimální řešení podproblémů.
+  * Stačí získat optimální řešení jediného podproblému. (Výběr na základě **lokální optimality**.)
+  * Postup **shora-dolů**
+  * Příklady:
+    * Dijkstrův algoritmus pro problém nejkratších cest z daného vrcholu
+    * Kruskal a Prim pro nejlehčí kostry
+    * Huffmanovy kódy
+    * Problém mincí (placení co nejmenším počtem mincí)
+    * Problém pásky
+      * n souborů různých délek ukládáme postupně na pásku
+      * minimalizace přístupového času
@@ Řádek 148: / Řádek 249: @@
 === Haldy ===
+  * **Halda** = Datová struktura pro reprezentaci prvků, nad kterými je definované úplné uspořádání.
+  * Podporované operace:
+    * MAKE_HEAP() vytvoří prázdnou haldu
+    * INSERT(H, x) do haldy H
+    * MINIMUM(H) najde minimální prvek v H
+    * EXTRACT_MIN(H) z haldy H odstraní minimální prvek
+    * DELETE(H, x) z hlady H odstraní prvek x
+    * UNION(H1, H2) vytvoří novou haldu sjednocením H1 a H2
+    * DECREASE_KEY(H, x, y) nahradí klíč x klíčem y (y < x)
+^ Operace ^ Seznam ^ Binární halda ^ Binomiální halda ^ Fibonacciho halda ^
+| MAKE_HEAP | <math>\Theta(1)</math> | <math>\Theta(1)</math>  | <math>\Theta(1)</math> | <math>\Theta(1)</math> |
+| MINIMUM | <math>\Theta(n)</math> | <math>\Theta(1)</math> | <math>\Theta(\log n)</math> | <math>\Theta(1)</math> |
+| INSERT | <math>\Theta(1)</math> | <math>\Theta(\log n)</math> | <math>\Theta(1)</math> * | <math>\Theta(1)</math> |
+| UNION | <math>\Theta(1)</math> | <math>\Theta(n)</math> | <math>\Theta(\log n)</math> | <math>\Theta(1)</math> |
+| EXTRACT_MIN | <math>\Theta(n)</math> | <math>\Theta(\log n)</math> | <math>\Theta(\log n)</math> | <math>\Theta(\log n)</math> * |
+| DELETE | <math>\Theta(1)</math> | <math>\Theta(\log n)</math> | <math>\Theta(\log n)</math> | <math>\Theta(\log n)</math> * |
+| DECREASE_KEY | <math>\Theta(1)</math> | <math>\Theta(\log n)</math> | <math>\Theta(\log n)</math> | <math>\Theta(1)</math> * |
+* amortizovaná složitost
+<box 100% blue|Binomiální halda>
+  * Na rozdíl od **binární haldy** tvořena lesem binomiálních stromů.
+  * Umožňuje snadné spojování stromů.
+{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Binomial_Trees.svg/750px-Binomial_Trees.svg.png}}
+</box>
+<box 100% blue|Fibonacciho halda>
+  * zobecnění binární haldy
+  * struktura může obsahovat víc stromů; ukládáme ukazatel na minimální prvek
+  * odkládáme operace až na dobu, kdy je to nutné
+  * dvě hlavní mota (viz video [[https://www.youtube.com/watch?v=CEvUqy1uF1E|Amortized analysis of Fibonacci heap]]):
+    * //Někdy se vyplatí nechat nepořádek narůst. (A uklidit hromadně.)//
+      * = Nové uzly přidáváme jako jednouzlové stromy. Stromy se stejným stupněm spojujeme hromadně až při ''extract-min''.
+    * //Tvoji rodiče chtějí hodně vnoučat a pokud nemáš moc dětí, tak tě zavrhnou.//
+      * = Uzel, který již dvakrát ztratil při ''decrease-key'' potomka je přesunut jako nový strom.
+  * Efektivně realizujeme UNION, INSERT a DECREASE_KEY, ale nezhoršujeme amortizovanou složitost ostatních operací.
+<box 90% blue|EXTRACT_MIN>
+{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/Fibonacci_heap.png/375px-Fibonacci_heap.png}}
+  * Odebrání prvku (1) a rozpad potomků.
+{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Fibonacci_heap_extractmin1.png/255px-Fibonacci_heap_extractmin1.png}}
+  * Spojení a finální stav po EXTRACT_MIN
+{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Fibonacci_heap_extractmin2.png/195px-Fibonacci_heap_extractmin2.png}}
+</box>
+<box 90% blue|DECREASE_KEY>
+{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/Fibonacci_heap.png/375px-Fibonacci_heap.png}}
+  * Snížení hodnoty z (9) na (0)
+{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/09/Fibonacci_heap-decreasekey.png/375px-Fibonacci_heap-decreasekey.png}}
+</box>
+</box>
 === Union-find struktury  ===
+  * Reprezentace disjunktních množin.
+  * Operace:
+    * MAKE_SET(x) vytvoří množinu obsahující prvek x
+    * UNION(H1, H2) vytvoří novou množinu sjednocením H1 a H2
+    * FIND_SET(x) najde reprezentanta množiny obsahující x
+  * Aplikace:
+    * Kruskalův agoritmus
+    * komponenty souvislosti
+    * ekvivalence konečných automatů
+^ algoritmus ^ MAKE_SET ^ UNION ^ FIND_SET ^
+| reverzní stromy | <math>\mathcal{O}(1)</math> | <math>\mathcal{O}(1)</math> | <math>\mathcal{O}(n)</math> |
+| reverzní stromy (optimalizace) | <math>\mathcal{O}(1)</math> | <math>\mathcal{O}(\log n)</math> | <math>\mathcal{O}(\log n)</math> |
+| plytké stromy | <math>\mathcal{O}(1)</math> | <math>\mathcal{O}(\log n)</math> | <math>\mathcal{O}(1)</math> |
+Stromy s kompresí: Posloupnost m operací UNION, FIND_SET a MAKE_SET, z toho n operací MAKE_SET má složitost <math>O(m . \alpha(n))</math>
+<box 100% blue|Reverzní stromy (Reversed trees)>
+  * Každá množina reprezentována stromem.
+  * Jeden vrchol stromu odpovídá jednomu prvku množiny.
+  * Každý vrchol obsahuje odkaz na rodiče.
+  * Kořen ukazuje na sebe a je reprezentantem množiny.
+  * Implementace pomocí pole/seznamu.
+  * MAKE_SET, UNION: konstantní složitost
+  * FIND_SET: až lineární k počtu prvků prohledávané množiny
+  * Optimalizace:
+    * Při spojení dvou množin se kořen menší množiny stane synem kořene větší množiny.
+    * Ke každému vrcholu asociujeme hloubku stromu jehož je kořenem.
+    * MAKE_SET konstantní složitost
+    * UNION, FIND_SET <math>\mathcal{O}(\log n)</math>
+</box>
+<box 100% blue|Plytké stromy (Shallow threaded trees)>
+  * Množinu reprezentujeme jako spojovaný seznam, první prvek je reprezentantem.
+  * Každý prvek má ukazatele na následníka a na reprezentanta.
+  * Reprezentant obsahuje údaj o kardinalitě množiny.
+  * MAKE_SET, FIND_SET konstantní složitost
+  * WEIGHTED_UNION <math>\mathcal{O}(\log n)</math> amortizovaná složitost
+</box>
+<box 100% blue|Stromy s kompresí (Trees with path compresion)>
+  * FIND_SET: Při postupu zpět napojíme vrcholy na cestě přímo na kořen.
+  * Posloupnost m operací UNION, FIND_SET a MAKE_SET, z toho n operací MAKE_SET má složitost <math>O(m . \alpha(n))</math>
+</box>
 ==== Algoritmy pro práci s řetězci ====
-=== Karp-Rabin ===
+<note tip>Některé algoritmy (naivní, Karp-Rabin, automaty) jsou podrobněji rozepsány zde: http://statnice.dqd.cz/home:inf:in17</note>
-=== KMP ===
+Algoritmy pro:
+  * Vyhledávání vzorku v textu.
+  * Vzdálenosti řetězců a transformace řetězců
+  * Společná podposloupnost
+  * Aproximace řetězců
+  * Opakující se podřetězce
-=== Boyer-Moore ===
+^ Algoritmus ^ Předspracování ^ Vyhledávání ^
+| Úplné prohledávání | <math>O</math> | <math>\mathcal{O}((n-m+1)m)</math> |
+| Karp-Rabin * | <math>\Theta(m)</math> | <math>\mathcal{O}((n-m+1)m)</math> |
+| Konečné automaty | <math>\mathcal{O}(m |\Sigma|)</math> | <math>\Theta(n)</math> |
+| Knuth-Morriss-Pratt | <math>\Theta(m)</math> | <math>\Theta(n)</math> |
+| Boyer-Moore * | <math>\Theta(m + |\Sigma|)</math> | <math>\mathcal{O}((n-m+1)m)</math> |
-=== Užití konečných automatů ===
+* Očekávaná složitost je výrazně lepší.
+<box 100% blue|Karp-Rabin>
+  * Řetězce chápeme jako čísla v desítkové soustavě.
+  * Vzorek i jednotlivé podřetězce hašujeme (pomocí Hornerova schématu) a porovnáváme tyto haše.
+  * Při posunutí o jednu pozici jsme schopni přepočíst haš v konstantním čas.
+  - Příprava: <math>\Theta(m)</math>
+    - Vypočteme haš hledaného řetězce.
+    - Vypočteme haš prvního podřetězce.
+  - Výpočet: <math>O((n-m+1)m)</math>
+    - Porovnáme haš vzorku a haš aktuálního podřetězce. (Pokud je roven, porovnáme řetězce a případně uložíme nalezenou pozici.)
+    - Posuneme se o jednu pozici v prohledávaném textu  a přepočteme haš (v konstantním čase).
+    - Porovnáváme a posouváme se dokud jsme nedosáhli <math>(m-1)</math>-té pozice od konce. Poté vrátíme všechny nalezené pozice.
+  * Očekávaná složitost pro //c// nálezů: <math>\mathcal{O}((n-m+1) + cm)</math>
+    * ➕ vhodné pro delší vzorky s malým počtem očekávaných nálezů
+</box>
+<box 100% blue|Užití konečných automatů>
+  * Pro daný vzorek zkonstruujeme konečný automat.
+    * Využití sufixové funkce <math>\sigma</math> určující délku nejdelšího prefixu vzorku, který je sufixem slova.
+    * <math>\delta(q, a) = \sigma(P[1] ... P[q] a)</math>
+    * Tato metoda v <math>\mathcal{O}(m^3 \times \mid\Sigma\mid)</math>.
+      * Existuje procedura s <math>\mathcal{O}(m \times \mid\Sigma\mid)</math>.
+  * Text zpracujeme konečným automatem. <math>\Theta(n)</math>
+</box>
+<box 100% blue|KMP>
+  * Nekonstruujeme celý automat ale před vyhledáváním vypočteme **prefixovou funkci** pro vzorek.
+    * Postupně pro každou pozici ve vzorku určíme délku největšího podvzorku, který je zároveň prefixem i sufixem dosud zpracované části vzorku.
+    * <math>\mathcal{O}(m)</math>
+  * Samotný výpočet pak probíhá obdobně jako naivní prohledávání, ale při neshodě (nebo nalezení vzorku) se:
+    * na textu nevracíme
+    * na vzorce posuneme na pole dle prefixové funkce
+  * <math>\mathcal{O}(n)</math>
+</box>
+<box 100% blue|Boyer-Moore>
+  * Postupujeme zleva doprava a porovnáváme vzorek a text zprava.
+  * Při neshodě můžeme využít dvě pravidla pro přeskočení pozic (vybereme větší skok):
+    * **Heuristika špatného znaku**
+      * nejbližší další pozice znaku z textu ve vzorku
+      * symbol se nevyskytuje ve vzorku => posun o i pozic
+    * **Heuristika dobrého suffixu**
+      * najdeme nejpravější výskyt u = T[j+i+1...m-1], před kterým je symbol různý od a
+        * => posun o i-r pozic (r = index znaku různého od a)
+      * nenajdeme nejdelší řetězec v, který je současně prefixem i sufixem P
+        * => posun vzorku o m-|v| pozic
+  * Tabulky pro heuristiky si lze ze vzorku předpočítat před samotným výpočtem. <math>\mathcal{O}(m \times |\Sigma|)</math>
+  * Vyhledávání <math>\mathcal{O}(m \times n)</math>, ale očekávaně výrazně lepší.
+    * nejlepší případ: <math>\mathcal{O}(\frac{n}{m})</math>
+</box>
-==== Zdroje: ====
+===== Zdroje: =====
   * slidy IV003 (verze 2016)

mgr-szz/in-pos/2-pos.1559897154.txt.gz · Poslední úprava: 2020/04/12 16:56 (upraveno mimo DokuWiki)

Nahoru