Modelování v počítačové grafice. Druhy modelů, vytváření a modifikace, zobrazení. Lokální a globální úpravy modelů, deformační metody FFD. (PA010, PB009, PA157, PA158)

Těleso je množina bodů v 3D splňující určitá kritéria (např. sousednost).

Trojúhelníková síť (triangle mesh) je množina trojúhelníků sdílející své hrany.

• jednoduchá, vždy konvexní, každý vrchol leží v rovině
• pro vyplňování existují velmi rychlé algoritmy
• zobrazování je podporováno grafickým procesorem
• výpočty lze snadno optimalizovat (např. sledování paprsků)
• Datová struktura: geometrická část (obsahuje souřadnice vrcholů) + topologická část (které vrcholy tvoří trojúhelník, které trojúhelníky spolu sousedí)

Není vhodná na modelování tvaru těles a ploch (namísto např. NURBS), ale užitečná při deformaci.
Optimalizace sítě – trojúhelníky pokrývají plochu pravidelně vs. jemněji v místech s větší křivostí. Při zpracování dat v grafickém procesoru je vhodnější popsat síť trojúhelníků pomocí lineární struktury, která zajistí, že každý trojúhelník je zpracován právě jednou: pruh trojúhelníků (triangle strip), vejíř trojúhelníků (triangle fan).
Nevýhody: nesnadné mapování textur, může vzniknout geometrický alias (např. při změně měřítka - crack, u T-vrcholů).

• pole k x l x m voxelů („volume element“)
• jednobitová varianta (0 – nic, 1 – těleso) vs. vícebitová varianta (0 – nic, n>0 – těleso č. n)

• popis množiny hraničních bodů

Manifold je těleso, které odpovídá nějakému skutečnému tělesu (tj. jehož hrany incidují právě s 2 plochami, jehož hrany neprotínají jiné plochy, osamocený vrchol nespojuje 2 části tělesa).

Hraniční reprezentace jednoduchého mnohostěnu splňuje rovnici (opačně nemusí platit, tj. objekt splňující rovnici nemusí být jednoduchým mnohostěnem):
F + V = E + 2
F (faces) – počet ploch
V (vertices) – počet vrcholů
E (edges) – počet hran
Musí platit, že každá hrana propojuje 2 vrcholy, stěny a hrany se neprotínají.
Pro manifoldy s otvory platí zobecněná Eulerova rovnost:
F + V = E + 2 (C – H) + R
R (ring) – počet vnitřních smyček hran
C (component) – počet samostatných komponent tělesa
H (hole) – počet otvorů
Platnost Eulerova rovnosti souvisí s vlastnostmi planárních grafů.

• drátový, „wire-frame“ model
• Implementace: seznam vrcholů + seznam hran (obsahuje ukazatele do seznamu vrcholů)

Nelze jednoznačně interpretovat (viz. obr.), ale vhodné k vytvoření náhledu, pro prozkoumání vnitřku tělesa.

Implementace: seznam vrcholů + seznam hran + seznam ploch (pořadí vrcholů v poli: counter clockwise)
Vhodná pro vykreslování zohledňující viditelnost.

• Baumgart: Okřídlená hrana (winged edge)
• vhodné pro manifoldy
• je snadné odvodit mnoho topologických informací
• Pro nonmanifoldy: půlhrana

Je množina povrchových bodů (většinou získány digitálním snímáním reálných objektů). Data v jednom bodě: souřadnice, normála, barva, …

• lze je uspořádat hierarchicky a zobrazovat jenom do určité úrovně
• vysoké paměťové nároky

Založena na reprezentaci tělesa stromovou strukturou (CSG strom), který uchovává historii dílčích konstrukčních kroků. Vnitřní uzly obsahují množinové operace, listy CSG primitivy nebo prostorové transformace. CSG primitivy: kvádr, koule, válec, kužel, jehlan, … poloprostor, plocha NURBS, …
Vhodné pro tvarování tělesa, nevhodné pro zobrazení (lze ale snadno přetransformovat např. do hraniční reprezentace).
Prořezaný CSG strom: odstraní se nevyužité větve stromu (pokud se v dané části prostoru nevyskytuje to dané těleso).
CSG tree pruning – zásadní zjednodušení CSG stromu.

Deformace je dodatečné tvarování, může být lokální nebo globální.

• globální
• neuniformní změna měřítek: X = F_x(x), Y = F_y(y), Z = F_z(z), kde [x,y,z] je nedeformovaný, [X,Y,Z] je deformovaný bod

Základní deformace:

X = S_x(x) = S_x . x
Y = S_y(y) = S_y . y
Z = S_z(z) = S_z . z

ve směru osy z:
X = r_x . x
Y = r_y . y
Z = z
r_x, r_y jsou lineární nebo nelineární zeslabovací funkce

kolem osy z:
X = x . cos(f(z)) – x . sin(f(z))
Y = y . sin(f(z)) – y . cos(f(z))
Z = z

• složená transformace
• ohýbací zóna - aplikuje se kruhová deformace
• vnější zóny tělesa - dochází k posuvu a natočení

Lze aplikovat na hraniční i na CSG modely, plochy, části ploch v prostoru. Idea je následující: obejkt z elastického materiálu vložíme do formy ve tvaru hranolu a prázdný prostor zalijeme materiálem. Pak aplikujeme sadu transformací na hranol, s tím současně deformujeme i samotný objekt.
Postup:
Máme souřadnicový systém O, X, Y, Z, zavedeme pomocný souřadnicový systém X_0, bázi tvoří vektory S, T, U, které vymezují rovnoběžnostěn (nemusí být kolmý). Rovnoběžnostěn obsahuje objekt nebo jeho část. Bod X = [x, y, z] má v lokálném souřadnicovém systému X_0 souřadnice [s, t, u] a platí: X_0 + s . S + t . T + u . U
s = {T x U(X-X_0)}/{T x U . S}
t = {S x U(X-X_0)}/{S x U . T}
u = {S x T(X-X_0)}/{S x T . U}
V prostoru rovnoběžnostěnu vytvoříme pravidelnou mřížku řídících bodů P_ijk.
Prostor zdeformujeme přemístěním řídících bodů.
Pro určení změněné pozice bodu objektu se nejprve určí lokální souřadnice bodu, pak poloha bodu ve světových souřadnicích, výslednou polohu ovlivní jednotlivé řídící body s určitou váhou (např. lineární interpolací) – měla by zaručit požadovanou hladkost (spojitost) objektu, např. pomocí Bernsteinových polynomů.

• deformovaný parametrický povrch zůstane parametrickým povrchem, deformované parametrické křivky zůstanou parametrickými křivky.
• FFD je možné aplikovat postupně
• hlavním aspektem je udržet předepsanou spojitost navazujících deformovaných a nedeformovaných oblastí
• některé operace CAD systémů nelze použít, např. zaoblování ostrých hran, svařování, …
• nevýhoda: rozhraní mezi deformovanou a nedeformovanou oblastí leží v rovině

Žára, Beneš, Sochor, Felkel. Moderní počítačová grafika. Computer Press, Brno, 2004. ISBN: 80-251-0454-0