Rozdíly

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

--- home:inf:ap12 [2010/06/17 19:59]
czernitko sladěno pre a pro (předěláno na pro)
+++ home:inf:ap12 [2020/04/12 16:56] (aktuální)
@@ Řádek 1: / Řádek 1: @@
+====== AP12 Pravděpodobnost a statistika ======
+(klasická a podmíněná pravděpodobnost, distribuční funkce a rozdělení náhodných veličin, výpočet střední hodnoty, rozptylu a kovariance)
+**Pravděpodobnost** náhodného jevu je číslo, které je mírou očekávatelnosti výskytu jevu. ((převzato z http://cs.wikipedia.org/wiki/Pravděpodobnost))
+(Popisná) **statistika** je zpracování číselných dat o nějakém souboru objektů.
+**Matematická statistika** je věda aplikovaná na problémy spojené se sběrem a pozorováním náhodných dat.
+===== Terminologie =====
+<math>\Omega</math> = množina všech možných výsledků, **základní prostor**. Prvky <math>\omega \in \Omega</math> představují jednotlivé možné výsledky.
+**Jevové pole** je systém podmnožin <math>\Delta</math> základního prostoru uzavřený na //konečné průniky, spočetná sjednocení a množinové rozdíly//. Jednotlivé množiny <math>A \in \Delta</math> nazýváme **náhodné jevy** (vzhledem k <math>\Delta</math>).
+<box 95% round blue|Základní pojmy>
+  * **jistý jev** je celý základní prostor <math>\Omega</math>
+  * **nemožný jev** je prázdná podmnožina <math>\emptyset \in \Delta</math>
+  * **elementární jevy** jsou jednoprvkové podmnožiny <math>\{\omega\}, \omega \in \Omega</math>
+  * **společné nastoupení jevů** <math>A_{i}, i \in I</math> je jejich průnik, tedy odpovídá jevu <math>\bigcap_{i \in I}{}{} A_{i}</math>,
+  * **nastoupení alespoň jednoho z jevů** <math>A_{i}, i \in I</math> je jejich sjednocením, odpovídá jevu <math>\bigcup_{i \in I}{}{} A_{i}</math>
+  * **neslučitelné jevy** <math>A,B \in \Delta</math> jsou jevy, pro které platí <math>A \cap B</math> = <math>\emptyset</math>
+  * **jev A má za důsledek jev B**, když <math>A \subset B</math>
+  * **opačný jev k jevu A** je jev <math>B = \Omega \backslash A</math>, píšeme <math>B = A^c</math>
+</box>
+**Pravděpodobnostní funkce** je funkce <math>P : \Delta \rightarrow R</math> na jevovém poli <math>(\Omega,\Delta)</math>
+<box 95% round blue|Vlastnosti pravděpodobnostní funkce>
+  * je **nezáporná**, tj. <math>P(A) \geq 0</math> pro všechny jevy <math>A</math>,
+  * je **aditivní**, tj. <math>P\left(\bigcup_{i \in I}{}{} A_{i}\right) = \sum_{i \in I} P(A_{i})</math>, pro každý nejvýše spočetný systém po dvou neslučitelných jevů (//laicky: "dá se sčítat, když jsou jevy neslučitelné"//),
+  * pravděpodobnost jistého jevu je 1.
+  * **pravděpodobnost opačného jevu** je <math>P(A^c) = 1 - P(A)</math>
+</box>
+=====Pravděpodobnosti=====
+Rozlišujeme dvě definice pravděpodobností: **klasickou** a **geometrickou**. Pokud klademe podmínky, bavíme se o tzv. **podmíněné pravděpodobnosti**.
+====Klasická pravděpodobnost====
+Klasická pravděpodobnost je **pravděpodobnostní prostor **<math>(\Omega, \Delta, P)</math>** s pravděpodobnostní funkcí **<math>P : \Delta \rightarrow R,</math> \\
+<math> P(A) = \frac{{|}A{|}}{{|}\Omega{|}}</math> .
+<box 95% round blue|Jednoduchý príklad>
+//Zadanie:// Hádžeme kockou. Aká je pravdepodobnosť, že hodíme číslo 6?
+\\
+//Riešenie://
+<math>{|}A{|}</math> - úspešný výsledok (hodená 6)
+<math>{|}\Omega{|}</math> - všetky možné výsledky (1 až 6)
+<math> P(A) = \frac{{|}A{|}}{{|}\Omega{|}} = \frac{1}{6} = 0,166666667 = 17\%</math>.
+</box>
+====Geometrická pravděpodobnost====
+Zde je definice pravděpodobnosti založena na **porovnání objemů**, ploch či délek geometrických útvarů.
+<math> P(A) = \frac{vol\ A}{vol\ \Omega}</math>
+<box 95% round blue|Příklad - jen nastínění řešení>
+//Zadání:// Romeo a Julie si smluvili schůzku mezi 12:00 a 13:00. Přijdou náhodně v tomto rozmezí a čekají na sebe 20 minut, nejdéle však do 13:00. Jaká je pravděpodobnost, že se setkají?
+\\
+//Nástin řešení:// musíme si vytvořit funkci, která nám v pravděpodobnostním prostoru odděluje jev příznivý od nepříznivého. Potom spočítáme obsah části, která znázorňuje jev příznivý a dělíme obsahem celého prostoru.
+</box>
+====Podmíněná pravděpodobnost====
+Nechť H je jev s nenulovou pravděpodobností v jevovém poli <math>\Delta</math> v pravděpodobnostním prostoru <math>(\Omega, \Delta, P)</math>. Podmíněná pravděpodobnost <math>P(A|H)</math> jevu <math>A \in \Delta</math> vzhledem k hypotéze H je definována vztahem <math>P(A|H) = \frac{P(A \cap H)}{P(H)}</math> (napr. //„jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěmi kostkami padly dvě pětky, je-li součet hodnot deset?“//).
+<box 95% round blue|Pravděpodobnost průniku a sjednocení jevů>
+Definice odpovídá požadavku, že jevy A a H nastanou zároveň, za předpokladu, že A nastal s pravděpodobností <math>P(A \cap H)/P(A)</math>.
+Je také vidět přímo z definice, hypotéza H a jev A jsou nezávislé tehdy a jen tehdy, je-li <math>P(A) = P(A|H)</math>.
+Přepsáním formule pro podmíněnou pravděpodobnost dostáváme
+<math>P(A \cap B) = P(B \cap A) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)</math> \\
+<math>P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)</math> ... závislé
+<math>\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  = P(A) + P(B)</math>          ... nezávislé
+<math>P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) </math>       ... závislé
+<math>\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = P(A)  \cdot P(B)</math>        ... nezávislé
+obecně: <math>P(A_{1}\cap A_{2} \cap ... \cap A_{n})= P(A_{1}) \cdot P(A_{2}|A_{1}) \cdot .. \cdot P(A_{n}|A_{1} \cap A_{2} \cap ... \cap A_{n})</math>
+</box>
+**Bayesův vzorec**
+Pro pravděpodobnost jevů A a B platí
+<math> P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A) }{P(B)}   </math>
+<note>
+Využíváme jej, když známe podmíněnou pravděpodobnost P(B|A) a chceme zjistit P(A|B).
+</note>
+<box 95% round blue|Jednoduchý příklad>
+//Zadání:// Dva střelci vystřelí každý jednu ránu na terč. První má pravděpodobnost zásahu 80%, druhý 60%. V terči se našla jedna rána. Jaká je pravděpodobnost, že patří prvnímu střelci?
+\\
+//Řešení:// <math>P(H_{1})= 0,8</math>, <math>P(H_{2})= 0,6</math>
+Jev A: rána patří prvnímu střelci
+Pravděpodobnost toho, že se trefí první střelec = (pravděpodobnost, že se první trefí a druhý ne) / (pravděpodobnost, kdy je v terči 1 rána)
+Pravděpodobnost, kdy je v terči 1 rána: <math>0.8\cdot 0.4 + 0.2\cdot 0,6 = 0,44</math> (//bud se prvni trefi a druhy ne a nebo naopak//)
+<math> P(A) = \frac{0,8\cdot 0,4}{0,44}</math> ((příklad pochází z cvičení z předmětu MB104)).
+</box>
+=====Distribuční funkce a rozdělení náhodných veličin =====
+**Nahodná veličina** –- zavádíme ji, protože chceme pracovat s intervaly -- vyjádřit, jaká je pravděpod., že daná hodnota bude právě z tohoto intervalu.
+**Rozdělení pravděpodobnosti** je pravidlo, které přiřazuje pravděpodobnosti událostem nebo tvrzením.
+Existuje několik způsobů, jak vyjádřit rozdělení pravděpodobnosti. Nejobvyklejší je uvést **hustotu rozdělení pravděpodobnosti**; samotná pravděpodobnost jevu se pak získá **integrací funkce hustoty**.
+**Diskrétní** rozdělení pravděpodobností (definováno na spočetné, diskrétní množině, jako je podmnožina celých čísel) - např. binomické, Poissonovo
+**Spojité** rozdělení (existuje spojitá distribuční funkce, např. polynomická nebo exponenciální) - např. normální rozdělení, exponenciální rozdělení ((převzato z http://cs.wikipedia.org/wiki/Pravděpodobnost))
+===== Distribuční funkce =====
+distribuční funkcí náhodné veličiny X je funkce <math>F :
+R \rightarrow R</math> definovaná pro všechny <math>x \in R</math> vztahem
+<math>F(x) = P(X \leq x)</math>
+<box 95% round blue|Diskrétní náhodná veličina X>
+X na pravděpodobnostním prostoru <math>(\Omega, A, P)</math> nabývá jen konečně mnoha hodnot <math>x_{1}, x_{2}, . . . , x_{n} \in R</math>. Pak existuje tzv. pravděpodobnostní funkce f(x) taková, že
+<math>f(x) = P(X = x_{i})  x = x_{i}\  ;\ 0\ jinak.</math>
+Evidentně <math>\sum_{i=1}^{n}\  f(x_{i}) = 1</math> a pro rozdělení pravděpodobnosti platí
+<math>P(X^{-1} B) =\sum_{x_{i} \in B}\  f(x_{i})</math>
+a tedy zejména je distribuční funkce tvaru
+<math>F_{X}(t) =\sum_{x_{i} \leq t}\ f(x_{i})</math>
+Každá náhodná veličina definovaná pro klasickou pravděpodobnost je diskrétní.
+</box>
+<note>
+Diskrétní veličinu si můžeme představit jako graf složený z bodů, které odpovídají pravděpodobnosti daného jevu (pro házení kostkou je to 1/6)
+{{:home:inf:diskretni_velicina.png|}}
+** Sečtení hodnot bodů ** musí dát **1**.
+** Distribuční funkce** <math>F_{X}</math> v bodě 3 se vlastně rovná součtu pravděpodobnostních hodnot do tohoto bodu, tedy <math>\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6}</math>
+</note>
+**Spojité náhodné veličině** odpovídá **spojitá distribuční funkce**.
+<math>F(x) = P(A \leq X \leq B) = \int_{a}^{b} f(x) dx</math>, kde f(x) je funkce hustoty pravděpodobnosti.
+<box 95% round blue|Funkce hustoty pravděpodobnosti>
+Nechť X je náhodná veličina, F(x) je její distribuční funkce.
+  - F je zleva spojitá, <math>lim_{x \rightarrow -\infty} = 0</math> a <math>lim_{x \rightarrow \infty} = 1</math>.
+  - Vždy platí <math>P(a \leq X < b) = F(b) - F(a)</math>.
+  - Je-li X diskrétní s hodnotami <math>x_{1}, . . . , x_{n}</math>, pak je F(x) po částech konstantní, <math>F(x) = \sum_{x_{i} \leq x}\ P(X = x_{i})</math> a <math>F(x) = 1</math> kdykoliv <math>x > x_{n}</math>.
+  - Je-li X spojitá, pak je F(x) diferencovatelná a její derivace se rovná hustotě pravděpodobnosti X, tj. platí
+ <math>F'(x) = f(x)</math>.
+</box>
+<note>
+Spojitou veličinu si můžeme představit jako spojitý graf (když například zobrazujeme výšku lidí)
+{{:home:inf:spojita_velicina.png|}}
+** Plocha pod křivkou** musí mít obsah **1**.
+** Distribuční funkce** <math>F_{X}</math> se proto vyjadřuje jako integrál.
+</note>
+===== Rozdělení náhodných veličin=====
+====Diskrétní====
+  * sem patří degenerované rozdělení, alternativní rozdělení, **binomické rozdělení**, **Poissonovo rozdělení**
+===Degenerované rozdělení===
+  * <math>Dg(\mu)</math> -- konstantní hodnota <math>X = \mu</math>
+  * distribuční funkce: <math>F_{X}(t) = 0</math> pro <math>t \leq \mu</math>; 1 pro <math>t > \mu</math>
+  * pravděpodobn. funkce: <math>f_{X}(t) = 1</math> pro <math>t = \mu</math>;        0 jinak
+===Alternativní rozdělení===
+  * A(p) -- popisuje pokus s pouze dvěma možnými výsledky (zdar nebo nezdar), pravděpodobnosti jsou p a (1-p):
+  * <math>F_{X}(t) =   0</math> pro <math>t \leq 0</math>;     <math>1-p</math> pro <math>0 < t \leq 1</math>;         1 pro <math>t > 1</math>
+  * <math>f_{X}(t) =    p</math> pro <math>t = 1</math>;      <math>1-p</math> pre <math>t = 0</math>;              0 jinak
+===Binomické rozdělení===
+  * <math>Bi(n, p)</math> -- odpovídá n–krát nezávisle opakovanému pokusu popsanému alternativním rozdělením, přičemž naše náhodná veličina měří počet zdarů.
+  * <math>f_{X}(t) = {n \choose t}\ p^{t}\ (1 - p)^{n-t}</math>    pro <math>t \in {0, 1, . . . , n}</math>;      0 jinak
+  * nejvíce výsledků bude blízko hodnoty np
+<box 95% round blue|Příklad s nastíněným řešením>
+//Zadání:// Pravděpodobnost narození chlapce je 0,515. Jaká je pravděpodobnost, že mezi deseti tisíci novorozenci bude stejně nebo více děvčat než chlapců?
+\\
+//Řešení:// <math>P(p) = 0,515</math>, <math>n = 10000</math>
+Protože se vlastně nezávisle stále opakuje "pokus" s výsledkem "kluk" nebo "děvče", použijeme Binomické rozdělení **Bi(n,p)**, tedy Bi(10000; 0,515).
+<math>Y_{10000} \sim Bi(10000; 0,515)</math>
+<math>P(Y_{10000}=x) = {n \choose k}\ p^{t}\ (1 - p)^{n-t}</math> ...dosadíme 10000 za n
+<math>P(Y_{10000}=5000)=</math> dosadíme do vzorce
+<math>P(Y_{10000}\leq 5000)= \sum_{x=0}^{5000} \ldots</math>
+</box>
+===Poissonovo rozdělení===
+  * <math>Po(\lambda)</math> -- dobře aproximuje binomická rozložení <math>Bi(n, \lambda/n)</math> pro konstantní <math>\lambda > 0</math> a veliká n:
+  * <math>f_X(t) = \left(\frac{\lambda^{t}}{t!}\right) e^{-\lambda}</math>   pro <math> t \in N</math>; 0 jinak
+====Spojité====
+  * sem patří **rovnoměrné rozdělení**, **exponenciální rozdělení**, **normální rozdělení**
+===Rovnoměrné rozdělení===
+ * R(a, b) -– hustota <math>f_{X}(t)</math> je konstantní na daném intervalu, jinde je 0
+  * <math>f_{X}(t) = 0</math> pro <math>t \leq a</math>;       <math> \frac{1}{b-a}</math> pro <math>t \in (a, b)</math>;  0 pro <math>t \geq b</math>
+  * <math>F_{X}(t) = 0</math> pro <math>t \leq a</math>;       <math>\frac{t-a}{b-a}</math> pro <math>t \in (a, b)</math>;         1 pro <math>t \geq b</math>,
+===Exponenciální rozdělení===
+  * <math>ex(\lambda):  F_{X}(t) = 1 -  e^{-\lambda t}</math> pro <math>t > 0</math>;        0 pro <math>t \leq 0</math>.
+  * <math>f_{X}(t)= \lambda e^{-\lambda t}</math> pro <math>t > 0</math>;        0 pro <math>t \leq 0</math>.
+===Normální rozdělení===
+  * hustota <math>f_{X}(x) = \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)\ e^{-\frac{x^2}{2}}\  =\ </math> Gaussova křivka -- rozdělení s touto hustotou se nazývá normální rozdělení N(0,1) (první parametr střední hodnota, druhý rozptyl)
+  * binomické B(n,p) pro velké n konverguje k normálnímu N(np, np(1 − p))
+  * <math>F_{X}(x)= \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{-x^{2}}{2}} dx</math>
+===== Výpočet střední hodnoty, rozptylu a kovariance =====
+====Výpočet střední hodnoty====
+  * při rovnoměrném rozdělení je střední hodnotou aritmet. průměr
+  * pro diskrétní veličinu: <math>EX = \sum_{i}\ x_{i} f_{X}(x_{i})</math> - hodnotu vždy vynásobím hodnout její hustoty v daném bodě
+  * pro spojitou veličinu: <math>EX = \int_{-\infty}^{\infty} x f_{X}(x) dx</math>
+====Výpočet rozptylu====
+  * Rozptyl <math>DX=E((X-EX)^{2})</math> udává, jak jsou hodnoty "daleko" od střední hodnoty
+  * udává se v jednotkách na druhou, zavedla se také **výběrová směrodatná odchylka**, která se rovná <math>\sqrt{DX}</math> a udává hodnotu v jednotkách
+<note>
+Aby se dal rozptyl lépe spočítat, můžete využít alternativní vzorec: <math>DX = E(X^{2}) - (EX)^{2} </math>, kde <math>E(X^{2})</math> znamená, že do vzorce pro střední hodnotu <math>EX</math> všude místo <math>X</math> dáme <math>X^{2}</math>, <math>(EX)^{2}</math> je jen vypočítaná střední hodnota na druhou.
+</note>
+====Výpočet kovariance a korelačního koeficientu====
+===Kovariance===
+  * kovariance měří **sílu lineární závislosti** (jen lineární, jiné závislosti ne)
+  * <math>cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)</math>
+===Korelační koeficient===
+  * Korelační koeficient udává **míru lineární závislosti**, označuje se <math>\rho_{XY}</math> a je to bezrozměrné číslo z intervalu <math><-1,1></math>
+  * Pro <math>\rho = 1</math> je mezi X,Y **přímá lineární závislost**. Pro <math>\rho = - 1</math> je mezi X,Y **nepřímá lineární závislost**. Pro <math>\rho = 0</math> jsou veličiny X,Y **lineárně nezávislé**, a říkáme o nich, že jsou **nekorelované**. Nulová hodnota koeficientu korelace tedy **neznamená obecnou nezávislost** obou veličin X a Y, ale **pouze nezávislost lineární**.((převzato z http://cs.wikipedia.org/wiki/Kovariance))
+  * pro výpočet potřebuje kovarianci
+  * <math>\rho_{XY} = \frac{cov(X, Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}</math>
+<box 95% round blue|Příklad>
+//Zadání:// Nechť náhodné veličiny U,V mají diskrétní rozdělení určené následující tabulkou:
+^ U\V              ^ 1            ^ 2          ^ 3        ^
+^ 1    | 0,1         | 0,2        | 0,3  |
+^ 2    | 0,2         | 0,1        | 0,1  |
+Najděte marginální rozdělení obou náhodných veličin, jejich střední hodnoty, rozptyly a korelační koeficient.
+\\
+//Řešení:// \\
+Nejprve si jen pro kontrolu můžete spočítat součet všech hodnot v tabulce, pokud je roven 1, je zadání spravné.
+Do tabulky si přidáme marginální hodnoty -- jsou to //laicky řečeno projekce řádků a sloupců//
+^ U\V              ^ 1            ^ 2          ^ 3        ^ P(U) ^
+^ 1    | 0,1         | 0,2        | 0,3  | 0,6 |
+^ 2    | 0,2         | 0,1        | 0,1  | 0,4 |
+^ P(V)    | 0,3         | 0,3       | 0,4  | 1 |
+Spočítáme si střední hodnoty E(V) a E(U) a hodnotu E(UV):
+<math>E(U) = 1 \cdot 0,6 + 2 \cdot 0,4 = 1,4</math>
+<math>E(V) = 1 \cdot 0,3 + 2 \cdot 0,3 + 3 \cdot 0,4 = 2,1</math>
+<math>E(UV) = 1 \cdot 1 \cdot 0,1 + 1 \cdot 2 \cdot 0,2 + 1 \cdot 3 \cdot 0,3 + 2 \cdot 1 \cdot 0,2 + 2 \cdot 2 \cdot 0,1 + 2 \cdot 3 \cdot 0,1 = 2,8</math>
+\\
+Spočítáme si rozptyl D(V) a D(U):
+<math>D(U) = E(U^{2}) - (E(U))^{2} = (1^{2} \cdot 0,6 + 2^{2} \cdot 0,4) - (1,4)^{2} = 0,24 </math>
+<math>D(V) = E(V^{2}) - (E(V))^{2} = (1^{2} \cdot 0,3 + 2^{2} \cdot 0,3 + 3^{2} \cdot 0,4) - (2,1)^{2} = 0,69 </math>
+ \\
+Spočítáme si kovarianci:
+<math>cov (U,V) = E(UV)- E(U) \cdot E(V) = 2,8 - 1,4 \cdot 2,1 = -0,14</math>
+\\
+Spočítáme si korelační koeficient:
+<math>\rho_{uv} = \frac{cov(U,V)}{\sqrt{D(U)D(V)}} = \frac{-0,14}{\sqrt{0,24\cdot 0,69}} = -0,344</math> (přibližně)
+\\
+//Důsledek:// mezi veličinami U,V je spíše nepřímá lineární závislost. ((příklad převzat z domácích úkolů předmětu MB104))
+</box>
+===== Zdroj =====
+[[http://www.fi.muni.cz/~xhalic1/statnice/vypracovaneIM.doc]]
+[[http://www.math.muni.cz/~xpupik/dokumenty/pst-prednasky.pdf]]
+[[http://cs.wikipedia.org/wiki/Kovariance]]
+[[http://cs.wikipedia.org/wiki/Rozdělení_pravděpodobnosti]]
+[[http://cs.wikipedia.org/wiki/Pravděpodobnost]]
+Informace trochu zorganizovala, opravila a doplnila Jitka Pospíšilová.
+~~DISCUSSION~~

Nahoru